Serre の導手・指標・重さ（この章で使う場合）

$p$ を奇素数、$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$（$k$ は標数 $p$ の有限体）を mod $p$ 表現、$V = k^2$ とする。

1. 素数 $\ell \ne p$ に対し、$\bar\rho(I_\ell)$ の位数が $\ell$ で割り切れないとき $n(\ell, \bar\rho) = \dim_k V - \dim_k V^{I_\ell}$ とおく（一般には高次分岐群 $G_i$ を使って $n(\ell, \bar\rho) = \sum_{i \ge 0}\frac{|G_i|}{|G_0|}\dim V/V^{G_i}$ と定める。$\bar\rho(I_\ell)$ の位数が $\ell$ と素なら $i \ge 1$ の項は消える）。Serre の導手を $N(\bar\rho) = \prod_{\ell \ne p}\ell^{n(\ell, \bar\rho)}$ と定める。
2. $\det\bar\rho = \bar\chi_p$ であり、$\bar\rho$ が $p$ で有限であるとき、Serre の重さは $k(\bar\rho) = 2$、指標は $\varepsilon(\bar\rho) = 1$ であるという。