乗法的還元の素数での惰性群の作用

命題 5.8（「フェルマーの最終定理 I」§5）・ △証明あり（閉包未完）

定理 5.3 を仮定する。 $E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、 $\ell \ne p$ を素数とし、 $E$ は $\ell$ で乗法的還元をもつとする。このとき $E[p]$ の基底で、すべての $\sigma \in I_\ell$ について

\bar\rho_{E,p}(\sigma) = \begin{pmatrix} 1 & \kappa(\sigma) \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \kappa(\sigma) \in \mathbb{F}_p

となるものがあり、 $\bar\rho_{E,p}$ が $\ell$ で不分岐であることは $p \mid v_\ell(\Delta_{\min})$ と同値である。分岐する場合、 $\bar\rho_{E,p}(I_\ell)$ は位数 $p$ の群である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

△ 証明あり（閉包未完）

証明は Rikai にありますが、たどった先に主張のみの定理（または循環）があり、公理まではつながっていません。止めている前提:

Tate の一意化※定理 5.3・フェルマーの最終定理 I

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Tate の一意化※定理 5.3・フェルマーの最終定理 I
等分点の個数✓補題 4.1・フェルマーの最終定理 I
- 平行四辺形則を満たす関数は二次形式✓補題 4.5・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
- 加法公式✓命題 3.2・楕円曲線・モジュラー形式と現代数論
不分岐な p 乗根✓補題 5.7・フェルマーの最終定理 I
- フェルマーの小定理✓定理 5.1・合同式とフェルマーの小定理
  - ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理
    ベズーの等式✓定理 2.2・合同式とフェルマーの小定理この先をたどる →
  - 消去法則✓命題 3.6・合同式とフェルマーの小定理
    ユークリッドの補題✓補題 2.3・合同式とフェルマーの小定理（上で展開済み）
  - 合同式の四則✓命題 3.3・合同式とフェルマーの小定理
- Hensel の補題✓定理 7.3・完備化と Artin–Rees の補題
  - モニック多項式による割り算✓補題 7.2・完備化と Artin–Rees の補題
代数閉包への自己同型の延長✓補題 4.9・フェルマーの最終定理 I
- Zorn の補題✓定理 5.1・選択公理と Zorn の補題
  - 選択公理公理 3.1・選択公理と Zorn の補題
  - 整合的集合の比較可能性✓補題 5.5・選択公理と Zorn の補題
  - 始切片で増える整列集合の合併✓補題 5.4・選択公理と Zorn の補題
- 代数的な元による単拡大✓命題 6.2・多項式環と体の拡大
  - 環の準同型定理（第一同型定理）✓定理 5.1・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    剰余環✓定理 4.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    法 I による合同と剰余類定義 4.1・イデアルと剰余環
  - PID の既約元は素元で、生成するイデアルは極大✓補題 2.4・多項式環と体の拡大
    極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環（上で展開済み）
    素イデアルと整域✓命題 6.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
  - 極大イデアルと体✓定理 6.3・イデアルと剰余環
    イデアルの判定条件✓命題 3.2・イデアルと剰余環この先をたどる →
    素イデアルと極大イデアル定義 6.1・イデアルと剰余環
    単元を含むイデアル✓補題 3.3・イデアルと剰余環

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