楕円曲線の Galois 表現

$E$ を $\mathbb{Q}$ 上の楕円曲線、$p$ を素数とする。

1. $E[p] \cong (\mathbb{Z}/p)^2$（命題 4.2）の $\mathbb{F}_p$ 上の基底を選んで得られる準同型 $\bar\rho_{E,p} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ を mod $p$ 表現という（定義 10.1［楕円曲線・モジュラー形式と現代数論］ と同じもの）。$E[p]$ の点の座標を $\mathbb{Q}$ に添加した体 $\mathbb{Q}(E[p])$ は有限次 Galois 拡大で、$\bar\rho_{E,p}$ は制限写像 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(E[p])/\mathbb{Q})$ を経由し、後者の上で単射である。
2. $p$ 倍写像 $E[p^{n+1}] \to E[p^n]$ に関する逆極限 $T_pE = \varprojlim_n E[p^n]$ を $p$ 進 Tate 加群という。$E[p^n] \cong (\mathbb{Z}/p^n)^2$ から $T_pE \cong \mathbb{Z}_p^2$ で、$G_{\mathbb{Q}}$ の作用が定める $\rho_{E,p} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ を $p$ 進表現という。$\rho_{E,p}$ を $p$ を法として見たものが $\bar\rho_{E,p}$ である。
3. $\mu_{p^n} \subset \overline{\mathbb{Q}}$ を $1$ の $p^n$ 乗根の群とする。$\sigma \in G_{\mathbb{Q}}$ に対し、すべての $n$ とすべての $\zeta \in \mu_{p^n}$ について $\sigma\zeta = \zeta^{\chi_p(\sigma)}$ となる $\chi_p(\sigma) \in \mathbb{Z}_p^\times$ がただ 1 つ定まる。$\chi_p : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{Z}_p^\times$ を $p$ 進円分指標、$\bar\chi_p = \chi_p \bmod p : G_{\mathbb{Q}} \to \mathbb{F}_p^\times$ を mod $p$ 円分指標という。

有限群 $H$ への準同型 $G_{\mathbb{Q}} \to H$ が連続であるとは、ある有限次 Galois 拡大 $K/\mathbb{Q}$ について制限写像 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$ を経由することをいう。有限体 $k$ について、連続な準同型 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を単に mod $p$ 表現と呼び、$\bar\rho \otimes \bar k$ が既約（$\bar k^2$ に $\bar\rho(G_{\mathbb{Q}})$ で保たれる直線がない）のとき絶対既約、$\det\bar\rho(c) = -1$ のとき奇であるという。