p での条件と型 Σ の持ち上げ

$R$ を係数環、$\rho : G_p \to \mathrm{GL}_2(R)$ を連続な準同型とする。

• $\rho$ が良い（good）とは、$\det\rho|_{I_p} = \chi_p$ であり、すべての $n$ について $G_p$ 加群 $(R/\mathfrak{m}_R^n)^2$ が $\mathbb{Z}_p$ 上のある有限平坦群スキームの $\overline{\mathbb{Q}}_p$ 値点と同型であることをいう。
• $\rho$ が通常（ordinary）とは、適当な基底で $\rho|_{I_p} = \begin{pmatrix} \chi_p & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ となり、その第 1 基底ベクトルの張る直線が $G_p$ で保たれることをいう。
• $\rho$ が半安定とは、良いか通常であることをいう。

mod $p$ 表現 $\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ は、次の基本仮定を満たすとする: (a) 絶対既約、(b) $\det\bar\rho = \bar\chi_p$、(c) $\bar\rho|_{G_p}$ は半安定、(d) 素数 $\ell \ne p$ について $\#\bar\rho(I_\ell)$ は $p$ を割る（$1$ か $p$）。

$\Sigma$ を素数の有限集合とする。$\bar\rho$ の持ち上げ $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ が型 $\Sigma$ であるとは、次を満たすことをいう。

1. $\det\rho = \chi_p$。
2. $\rho|_{G_p}$ は半安定。$p \notin \Sigma$ で $\bar\rho|_{G_p}$ が良いなら、$\rho|_{G_p}$ も良い。
3. $\ell \notin \Sigma \cup \{p\}$ で $\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐なら、$\rho$ も $\ell$ で不分岐。
4. $\ell \notin \Sigma \cup \{p\}$ なら、適当な基底で $\rho|_{I_\ell} = \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。

$\Sigma = \emptyset$ の場合を極小という。$\Sigma_{\bar\rho}$ を、「$\ell = p$ で $\bar\rho|_{G_p}$ が良くかつ通常」または「$\ell \ne p$ で $\bar\rho$ が $\ell$ で不分岐」を満たす素数 $\ell$ の集合とする。