Hecke 作用素の可換性と Hecke 環の有限性

$N \ge 1$ とし、$\ell, \ell'$ を $N$ を割らない素数とする。

1. $f = \sum_{n \ge 1}a_nq^n \in S_2(\Gamma_0(N))$ なら $T_\ell f \in S_2(\Gamma_0(N))$ で、 $$T_\ell f = \sum_{n \ge 1}\bigl(a_{\ell n} + \ell\,a_{n/\ell}\bigr)q^n \qquad (\ell \nmid n \text{ のとき } a_{n/\ell} = 0).$$
2. $T_\ell T_{\ell'} = T_{\ell'}T_\ell$。
3. 定理 5.1 を仮定する。$T_\ell$（$\ell \nmid N$ は素数）の全体が $\mathrm{End}_{\mathbb{C}}(S_2(\Gamma_0(N)))$ の中で生成する $\mathbb{Z}$ 上の部分環 $\mathbb{T}(N)$ は可換で、$\mathbb{Z}$ 加群として有限生成な自由加群である。とくに各 $T_\ell$ の固有値は代数的整数である。