普遍変形環の存在

$\bar\rho$ が 定義 4.5 の基本仮定を満たすとし、$\Sigma$ を素数の有限集合とする。

1. 型 $\Sigma$ の持ち上げの普遍的な組 $(R_\Sigma, \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}})$ が存在する。
2. 接空間 $D_\Sigma(k[\varepsilon])$ は、命題 4.3 の同一視で $H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$ の有限次元部分空間 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$（対応する $k[\varepsilon]$ への持ち上げが型 $\Sigma$ である類の全体。Selmer 群）に対応する。
3. $\mathcal{O}$ 代数の全射 $\theta : R_\Sigma \to \mathcal{O}$ に対し、$\rho = \theta \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}$、$\mathfrak{p} = \ker\theta$ とおくと、$\mathcal{O}$ 加群の同型 $$\mathrm{Hom}_{\mathcal{O}}(\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^2, K/\mathcal{O}) \cong H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho \otimes K/\mathcal{O})$$ がある。右辺は、各 $n$ について $\mathcal{O}[\varepsilon]/(\lambda^n\varepsilon, \varepsilon^2)$ への $\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げを分類する群 $H^1_\Sigma(\mathbb{Q}, \mathrm{ad}^0\rho \otimes \lambda^{-n}/\mathcal{O})$ の、$n$ についての合併である。