持ち上げ・変形・変形関手

$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。係数環 $R$ への $\bar\rho$ の持ち上げとは、連続な準同型 $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ で、$\mathfrak{m}_R$ を法として $\bar\rho$ に一致するものをいう。2 つの持ち上げ $\rho, \rho'$ が、ある $U \in \ker\bigl(\mathrm{GL}_2(R) \to \mathrm{GL}_2(k)\bigr) = 1 + M_2(\mathfrak{m}_R)$ によって $\rho' = U\rho U^{-1}$ となるとき同値といい、同値類を $\bar\rho$ の変形という。$R$ への変形の集合を $D(R)$ と書く。射 $R \to R'$ は成分への適用で $D(R) \to D(R')$ を引き起こし、$D$ は $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ から集合の圏への関手（変形関手）になる。持ち上げに条件 $\mathcal{P}$（共役と射による押し出しで保たれるもの）を課した部分関手を $D_{\mathcal{P}}$ と書く。

係数環 $R_{\mathcal{P}}$ と、その上の条件 $\mathcal{P}$ を満たす持ち上げ $\rho^{\mathrm{univ}}$ の組が普遍的であるとは、すべての係数環 $R$ について

が全単射であることをいう。このとき $R_{\mathcal{P}}$ を普遍変形環という。