係数環と連続表現

完備 Noether 局所環 $(R, \mathfrak{m}_R)$（定義 3.2［完備化と Artin–Rees の補題］）で、$\mathcal{O}$ 代数の構造をもち、構造射 $\mathcal{O} \to R$ が剰余体の同型 $k \to R/\mathfrak{m}_R$ を引き起こすものを係数環という。係数環の間の $\mathcal{O}$ 代数の準同型で極大イデアルを極大イデアルに写すものを射とし、この圏を $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ と書く。$k[\varepsilon] = k[X]/(X^2)$（$\varepsilon$ は $X$ の類）は $\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ の対象である。

係数環 $R$ に対し、各 $R/\mathfrak{m}_R^n$ は有限環である。準同型 $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R)$ が連続であるとは、すべての $n \ge 1$ について合成 $G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(R/\mathfrak{m}_R^n)$ が有限次 Galois 拡大の Galois 群を経由することをいう。