$T_Σ$ に値をもつ表現と全射 $R_Σ → T_Σ$

上の設定で次が成り立つ。

1. $\mathcal{N}_\Sigma \ne \emptyset$。$\mathbb{T}_\Sigma$ は係数環（$\mathcal{C}_{\mathcal{O}}$ の対象）で、$\mathcal{O}$ 加群として有限生成自由、被約である。したがって $\eta_\Sigma \ne 0$。
2. $\bar\rho$ の型 $\Sigma$ の持ち上げ $\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}} : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathbb{T}_\Sigma)$ で、$\Sigma$ に属さず $pN(\bar\rho)$ を割らないすべての素数 $\ell$ で不分岐、$\mathrm{tr}\,\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}(\mathrm{Frob}_\ell) = T_\ell$ となるものが存在する。$\pi_f \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}$ は $\rho_f$ と同値である。
3. 普遍性から定まる射 $\phi_\Sigma : R_\Sigma \to \mathbb{T}_\Sigma$（$\phi_\Sigma \circ \rho_\Sigma^{\mathrm{univ}}$ が $\rho_\Sigma^{\mathrm{mod}}$ と同値）は全射である。
4. $\mathcal{O}$ 代数の準同型 $\mathbb{T}_\Sigma \to \mathcal{O}$ は、ある $f \in \mathcal{N}_\Sigma$ の $\pi_f$ に限る。