添加つき係数環・完全交叉

係数環 $A$ と $\mathcal{O}$ 代数の全射 $\pi_A : A \to \mathcal{O}$ の組を添加つき係数環といい、

とおく。添加と両立する係数環の射を添加つき係数環の射という。$\mathcal{O}$ 加群として有限生成自由な係数環 $A$ が完全交叉であるとは、ある $r \ge 0$ と $f_1, \ldots, f_r \in \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]$ について $A \cong \mathcal{O}[[X_1, \ldots, X_r]]/(f_1, \ldots, f_r)$ となること（生成元と関係式の個数が等しいこと）をいう。