保型性持ち上げ定理

$p$ を奇素数とする。

1. $\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(\mathcal{O})$ を連続な表現、$\bar\rho = \rho \bmod \lambda$ とし、次を仮定する。

   • (a) $\bar\rho$ は絶対既約で保型的。
   • (b) $p$ と異なるすべての素数 $\ell$ について、適当な基底で $\rho|_{I_\ell} = \begin{pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$。
   • (c) $\rho|_{G_p}$ は半安定（定義 4.5）。
   • (d) $\det\rho = \chi_p$。

   このとき重さ $2$ の新形式 $f$ があって、$\rho$ は $\rho_f$ と（$K$ の有限次拡大の上で）同値である。

2. $E$ を $\mathbb{Q}$ 上の半安定な楕円曲線とし、$\bar\rho_{E,p}$ が $\mathbb{F}_p$ 上既約で保型的であるとする。このとき $E$ はモジュラーである。