数学 › 未解決問題と大定理 › フェルマーの最終定理 II

Selmer 群の位数の比（Poitou–Tate の双対から従う Wiles の公式）

定理 7.1（「フェルマーの最終定理 II」§7） ・ ※主張のみ

MM を有限な GQG_{\mathbb{Q}} 加群（作用は連続）、nn を nM=0nM = 0 となる整数、M∗=Hom(M,μn)M^* = \mathrm{Hom}(M, \mu_n) とする。Q\mathbb{Q} の各素点 vv（素数または ∞\infty）について部分群 Lv⊆H1(Gv,M)L_v \subseteq H^1(G_v, M) が与えられ、有限個を除くすべての vv で LvL_v は不分岐な類の群 H1(Gv/Iv,MIv)H^1(G_v/I_v, M^{I_v}) であるとする。Lv⊥⊆H1(Gv,M∗)L_v^\perp \subseteq H^1(G_v, M^*) を Tate の局所双対に関する LvL_v の零化群とし、

HL1(Q,M)={x∈H1(GQ,M)∣すべての v で resv x∈Lv}H^1_{\mathcal{L}}(\mathbb{Q}, M) = \{x \in H^1(G_{\mathbb{Q}}, M) \mid \text{すべての } v \text{ で } \mathrm{res}_v\,x \in L_v\}

とおく（HL∗1(Q,M∗)H^1_{\mathcal{L}^*}(\mathbb{Q}, M^*) も Lv⊥L_v^\perp で同様に定める）。このときどちらも有限群で、

#HL1(Q,M)#HL∗1(Q,M∗)=#H0(GQ,M)#H0(GQ,M∗)∏v#Lv#H0(Gv,M)\frac{\#H^1_{\mathcal{L}}(\mathbb{Q}, M)}{\#H^1_{\mathcal{L}^*}(\mathbb{Q}, M^*)} = \frac{\#H^0(G_{\mathbb{Q}}, M)}{\#H^0(G_{\mathbb{Q}}, M^*)}\prod_v\frac{\#L_v}{\#H^0(G_v, M)}

が成り立つ（右辺の積は有限個を除いて 11）。

本文で読む（前後の説明）→

閉包の状態

※ 主張のみ

証明を Rikai に書かない定理です（研究最前線の結果や、証明が本 1 冊分になるもの）。主張のみの台帳に理由つきで登録されています。理由と出典は 本文の注意 にあります。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

主張のみなので、Rikai の中で証明が使う前提はありません。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。