変形関手の接空間

$\bar\rho : G_{\mathbb{Q}} \to \mathrm{GL}_2(k)$ を mod $p$ 表現とする。

1. 写像 $Z^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho) \to \{k[\varepsilon] \text{ への持ち上げ}\}$、$c \mapsto \rho_c$、$\rho_c(g) = (1 + \varepsilon c(g))\bar\rho(g)$ は全単射で、同値な持ち上げは差が $B^1$ に属する $c$ に対応する。したがって $D(k[\varepsilon]) \cong H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}\,\bar\rho)$。
2. 行列式を固定する条件 $\det\rho = \det\bar\rho$ を課した関手 $D^0$ について、$D^0(k[\varepsilon]) \cong H^1(G_{\mathbb{Q}}, \mathrm{ad}^0\bar\rho)$。
3. 条件 $\mathcal{P}$ つきの普遍変形環 $R_{\mathcal{P}}$ が存在するなら、$k$ ベクトル空間 $\mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}/(\lambda, \mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}^2)$ の双対と $D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$ の間に全単射 $$\mathrm{Hom}_k\bigl(\mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}/(\lambda, \mathfrak{m}_{R_{\mathcal{P}}}^2),\, k\bigr) \cong \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_{\mathcal{O}}}(R_{\mathcal{P}}, k[\varepsilon]) \cong D_{\mathcal{P}}(k[\varepsilon])$$ がある。