数学 › 微分積分学 › 多変数関数の微分と偏微分

2 変数のテイラーの定理（2 次まで）

定理 7.4（「多変数関数の微分と偏微分」§7） ・ ✓公理まで証明済み

ff を開集合 UU 上の C2C^2 級関数、a∈U\boldsymbol a \in U とし、B(a,r)⊂UB(\boldsymbol a, r) \subset U とします。∥h∥<r\|\boldsymbol h\| < r なる h=(h,k)\boldsymbol h = (h,k) に対し次が成り立ちます。

  1. （ラグランジュ剰余）ある θ∈(0,1)\theta \in (0,1) が存在して
f(a+h)=f(a)+⟨∇f(a),h⟩+12 hTHf(a+θh) h.f(\boldsymbol a+\boldsymbol h) = f(\boldsymbol a) + \langle \nabla f(\boldsymbol a), \boldsymbol h\rangle + \frac{1}{2}\,\boldsymbol h^{\mathsf{T}} H_f(\boldsymbol a + \theta\boldsymbol h)\, \boldsymbol h .
  1. （ペアノ剰余）h→0\boldsymbol h \to \boldsymbol 0 のとき
f(a+h)=f(a)+⟨∇f(a),h⟩+12 hTHf(a) h+o(∥h∥2).f(\boldsymbol a+\boldsymbol h) = f(\boldsymbol a) + \langle \nabla f(\boldsymbol a), \boldsymbol h\rangle + \frac{1}{2}\,\boldsymbol h^{\mathsf{T}} H_f(\boldsymbol a)\, \boldsymbol h + o(\|\boldsymbol h\|^2).

ここで hTHh=fxxh2+2fxyhk+fyyk2\boldsymbol h^{\mathsf{T}} H \boldsymbol h = f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2 です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 19 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

関連するノック 1 問