ヘッセ行列による極値判定

定理 8.2（「多変数関数の微分と偏微分」§8）・ ✓公理まで証明済み

$f$ を開集合 $U$ 上の $C^2$ 級関数、 $\boldsymbol a \in U$ を臨界点（ $\nabla f(\boldsymbol a) = \boldsymbol 0$ ）とし、

\Delta = \det H_f(\boldsymbol a) = f_{xx}(\boldsymbol a)f_{yy}(\boldsymbol a) - f_{xy}(\boldsymbol a)^2

と置きます。

$\Delta > 0$ かつ $f_{xx}(\boldsymbol a) > 0$ ならば、 $f$ は $\boldsymbol a$ で狭義の極小。
$\Delta > 0$ かつ $f_{xx}(\boldsymbol a) < 0$ ならば、 $f$ は $\boldsymbol a$ で狭義の極大。
$\Delta < 0$ ならば、 $\boldsymbol a$ は鞍点（極大でも極小でもない）。
$\Delta = 0$ のときは、この情報だけでは極大・極小・鞍点のいずれとも決まらない。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 21 件、定義なども含めて 27 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

2 変数のテイラーの定理（2 次まで）✓定理 7.4・多変数関数の微分と偏微分
- C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分
  - ラグランジュの平均値の定理✓定理 3.3・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- 連鎖律（曲線に沿った微分）✓定理 6.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 全微分可能性から出てくるもの✓命題 4.3・多変数関数の微分と偏微分
    全微分可能定義 4.1・多変数関数の微分と偏微分
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
  - 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
    背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
    近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
- テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
  - コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
    ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
2 変数 2 次形式の符号✓補題 8.1・多変数関数の微分と偏微分

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

ヘッセ行列による極値判定

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）