調和性は正則写像で保たれる

命題 7.1（「等角写像とリーマン写像定理」§7）・ ✓公理まで証明済み

$\Omega, \Omega'$ を領域、 $f : \Omega \to \Omega'$ を正則写像、 $u : \Omega' \to \mathbb{R}$ を調和関数とする。このとき $u \circ f$ は $\Omega$ 上で調和である。さらに恒等式

\Delta(u\circ f) = \bigl((\Delta u)\circ f\bigr)\,|f'|^2

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 56 件、定義なども含めて 70 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分
- 極限の一意性✓定理 3.5・極限と連続性
  - 背理法の正当性✓命題 6.2・証明の技術
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 近傍・除外近傍・集積点定義 2.1・極限と連続性
コーシーの積分定理（導関数の連続性を仮定した形）✓定理 4.3・コーシーの積分定理と積分公式
- コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 複素微分可能性定義 3.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 実部と虚部への分解✓命題 2.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - 1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 複素線積分に対するグリーンの公式✓補題 4.2・コーシーの積分定理と積分公式
  - 複素線積分定義 2.2・コーシーの積分定理と積分公式
- Jordan の曲線定理✓定理 4.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
  - Jordan–Brouwer の分離定理✓定理 4.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理
    埋め込まれた円板と球面の補集合✓定理 3.1・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    球面の開集合の成分✓補題 2.2・Jordan の曲線定理と Jordan–Brouwer の分離定理この先をたどる →
    H₀ と点のホモロジー✓命題 2.4・特異ホモロジー
- 単連結領域定義 4.1・コーシーの積分定理と積分公式
実部・虚部は調和関数✓系 5.7・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- 正則性の特徴づけ✓定理 5.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - C¹ 級による正則性の判定✓系 5.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    C¹ 級ならば全微分可能✓定理 4.5・多変数関数の微分と偏微分この先をたどる →
    コーシー・リーマンの関係式（十分性）✓定理 5.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式この先をたどる →
    正則関数・整関数定義 3.2・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
  - コーシー・リーマンの関係式（必要性）✓定理 4.1・正則関数とコーシー・リーマンの関係式（上で展開済み）
  - 正則関数の無限回微分可能性✓系 3.3・正則関数の強力な性質
    コーシーの積分公式（導関数版）✓定理 3.2・正則関数の強力な性質この先をたどる →
  - 複素微分可能なら連続✓命題 3.4・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
    1 次近似としての複素微分可能性✓命題 3.3・正則関数とコーシー・リーマンの関係式
- シュワルツの定理（偏微分の順序交換）✓定理 7.1・多変数関数の微分と偏微分（上で展開済み）

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

調和性は正則写像で保たれる

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）