速度から運動量への変数変換

命題 3.4（「ハミルトン形式の力学」§3）・ ✓公理まで証明済み

$L$ が $C^2$ 級で、点 $(q_0,\dot q_0,t_0)$ において正則（定義 3.3）であるとする。 $p_i = \partial L/\partial\dot q^i$ で定まる写像

\Phi:(q,\dot q,t)\longmapsto (q,\;p(q,\dot q,t),\;t)

は、 $(q_0,\dot q_0,t_0)$ のある近傍から $(q_0,p_0,t_0)$ （ただし $p_0 = p(q_0,\dot q_0,t_0)$ ）のある近傍への $C^1$ 級微分同相である。とくに、その近傍で速度は

\dot q^i = v^i(q,p,t)

と $C^1$ 級関数として一意に表される。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。