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ハミルトンの正準方程式

定理 4.2（「ハミルトン形式の力学」§4） ・ ✓公理まで証明済み

L(q,q˙,t)L(q,\dot q,t) を C2C^2 級の 正則ラグランジアン（定義 3.3） とし、H(q,p,t)H(q,p,t) を そのハミルトニアン（定義 3.6） とする。曲線 t↦q(t)t\mapsto q(t) がオイラー・ラグランジュ方程式

ddt∂L∂q˙i−∂L∂qi=0(i=1,…,n)\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial \dot q^i} - \frac{\partial L}{\partial q^i} = 0 \qquad (i=1,\ldots,n)

を満たすことと、pi(t):=∂L/∂q˙i(q(t),q˙(t),t)p_i(t) := \partial L/\partial\dot q^i\bigl(q(t),\dot q(t),t\bigr) とおいた曲線 t↦(q(t),p(t))t\mapsto (q(t),p(t)) が

q˙i=∂H∂pi,p˙i=−∂H∂qi(i=1,…,n)\dot q^i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \qquad \dot p_i = -\frac{\partial H}{\partial q^i} \qquad (i=1,\ldots,n)

を満たすことは同値である。さらに、恒等的に

∂H∂t=−∂L∂t\frac{\partial H}{\partial t} = -\frac{\partial L}{\partial t}

が成り立つ。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 5 件、定義なども含めて 9 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理 証明で参照している 3 件

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