基本的な恒等式

$\varphi$ が $C^2$ 級、$\boldsymbol F$ が $C^2$ 級、$g$ が $C^1$ 級、$\boldsymbol A$ が $C^1$ 級のとき次が成り立つ。

1. $\mathrm{rot}\,\mathrm{grad}\,\varphi=\boldsymbol 0$。
2. $\mathrm{div}\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol F=0$。
3. $\mathrm{rot}(g\boldsymbol A)=\nabla g\times\boldsymbol A+g\,\mathrm{rot}\,\boldsymbol A$。
4. $a,b$ が $C^2$ 級のスカラー場のとき $\mathrm{div}(\nabla a\times\nabla b)=0$。
5. $\mathrm{div}(g\boldsymbol A)=\nabla g\cdot\boldsymbol A+g\,\mathrm{div}\,\boldsymbol A$。