数学 › 微分積分学 › ベクトル解析と積分定理

直交曲線座標での勾配・発散・回転

定理 9.3（「ベクトル解析と積分定理」§9） ・ ✓公理まで証明済み

直交曲線座標 (u1,u2,u3)(u_1,u_2,u_3) で、ff を C2C^2 級スカラー場、F=F1e1+F2e2+F3e3\boldsymbol F=F_1\boldsymbol e_1+F_2\boldsymbol e_2+F_3\boldsymbol e_3 を FiF_i が C1C^1 級のベクトル場とする（f,Fif,F_i は uu の関数と見る）。(i,j,k)(i,j,k) を (1,2,3)(1,2,3) の巡回置換とすると

∇f=∑i1hi∂f∂uiei,div F=1h1h2h3∑i∂∂ui(hjhkFi),\nabla f=\sum_{i}\frac1{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\boldsymbol e_i,\qquad \mathrm{div}\,\boldsymbol F=\frac1{h_1h_2h_3}\sum_{i}\frac{\partial}{\partial u_i}\bigl(h_jh_kF_i\bigr),(rot F)i=1hjhk(∂(hkFk)∂uj−∂(hjFj)∂uk),Δf=1h1h2h3∑i∂∂ui(hjhkhi∂f∂ui)(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i=\frac{1}{h_jh_k}\Bigl(\frac{\partial(h_kF_k)}{\partial u_j}-\frac{\partial(h_jF_j)}{\partial u_k}\Bigr), \qquad \Delta f=\frac1{h_1h_2h_3}\sum_i\frac{\partial}{\partial u_i}\Bigl(\frac{h_jh_k}{h_i}\frac{\partial f}{\partial u_i}\Bigr)

が成り立つ。ただし (rot F)i(\mathrm{rot}\,\boldsymbol F)_i は ei\boldsymbol e_i 方向の成分である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 8 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。