de Rham コホモロジー

$Z^k(M)=\ker(d\colon\Omega^k\to\Omega^{k+1})$（閉 $k$ 形式）、$B^k(M)=\operatorname{im}(d\colon\Omega^{k-1}\to\Omega^k)$（完全 $k$ 形式）とする。$B^k\subset Z^k$ であり（定義 6.4［ベクトル場と微分形式］）、商ベクトル空間

を $k$ 次の de Rham コホモロジーという。閉形式 $\omega$ の類を $[\omega]$ と書く。