Newton 法の局所 2 次収束

定理 5.1（「非線形方程式の反復解法」§5）・ ✓公理まで証明済み

$I$ を開区間、 $f : I \to \mathbb{R}$ を $C^2$ 級とし、 $x^* \in I$ で $f(x^*) = 0$ 、 $f'(x^*) \ne 0$ とする。

$\delta \gt 0$ が $J = [x^* - \delta, x^* + \delta] \subset I$ と $m = \min_J |f'| \gt 0$ を満たすとし、 $M = \max_J |f''|$ 、 $K = M/(2m)$ とおく。 $K\delta \lt 1$ ならば、任意の $x_0 \in J$ について Newton 法の列は定義されて $J$ にとどまり、 $|e_{k+1}| \le K e_k^2, \qquad K|e_k| \le (K|e_0|)^{2^k}$ が成り立つ。とくに $x_k \to x^*$ で、R 次数 2 以上で収束する。
1 の条件を満たす $\delta \gt 0$ は存在する。
1 の状況で、すべての $k$ で $e_k \ne 0$ ならば $\frac{e_{k+1}}{e_k^2} \to \frac{f''(x^*)}{2f'(x^*)}$ である。とくに $f''(x^*) \ne 0$ なら 2 次収束で、漸近誤差定数は $|f''(x^*)|/(2|f'(x^*)|)$ である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 17 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理
- 実数の連続性公理（上限性質）公理 5.1・数とは何か
- 最大値の原理（ワイエルシュトラスの定理）✓定理 4.2・連続関数と一様連続性
  - 有界性定理✓定理 4.1・連続関数と一様連続性
    ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性（上で展開済み）
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理✓補題 2.2・連続関数と一様連続性
    区間縮小法✓補題 2.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性の点列による特徴づけ✓命題 3.2・連続関数と一様連続性
    連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
  - 連続性定義 3.1・連続関数と一様連続性
- 極限の四則✓定理 4.2・極限と連続性
  - 関数の極限定義 3.1・極限と連続性
  - 収束すれば局所有界✓補題 4.1・極限と連続性
    関数の極限定義 3.1・極限と連続性
テイラーの定理（ラグランジュの剰余）✓定理 5.3・平均値の定理とテイラーの定理
- コーシーの平均値の定理✓定理 3.7・平均値の定理とテイラーの定理
  - ロルの定理✓定理 3.1・平均値の定理とテイラーの定理
    最大値・最小値の定理✓定理 2.3・平均値の定理とテイラーの定理（上で展開済み）
    極大・極小定義 2.1・平均値の定理とテイラーの定理
    フェルマーの補題✓補題 2.5・平均値の定理とテイラーの定理この先をたどる →
R 次数定義 2.2・非線形方程式の反復解法

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割線法の局所収束✓定理 6.2・非線形方程式の反復解法

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