数学 › 微分積分学 › 級数と収束判定

上極限

定義 2.2（「級数と収束判定」§2）

実数列 (xn)(x_n) が上に有界であるとき、yN=sup⁡n≥Nxny_N = \sup_{n \ge N} x_n とおく。(yN)(y_N) は NN について単調減少なので、下に有界ならば収束し、そうでなければ −∞-\infty に発散する。この値を

lim sup⁡n→∞xn=inf⁡N≥1 sup⁡n≥Nxn\limsup_{n \to \infty} x_n = \inf_{N \ge 1} \, \sup_{n \ge N} x_n

と書き、(xn)(x_n) の上極限という。(xn)(x_n) が上に有界でないときは lim sup⁡n→∞xn=+∞\limsup_{n\to\infty} x_n = +\infty と約束する。下極限 lim inf⁡n→∞xn=sup⁡N≥1inf⁡n≥Nxn\liminf_{n\to\infty} x_n = \sup_{N \ge 1} \inf_{n \ge N} x_n も同様に定める。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

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