数学 › 常微分方程式 › 常微分方程式の初等解法

変数分離形の解

定理 3.1（「常微分方程式の初等解法」§3） ・ ✓公理まで証明済み

I,JI,J を開区間、f:I→Rf:I\to\mathbb{R}、g:J→Rg:J\to\mathbb{R} を連続とし、x0∈Ix_0\in I、y0∈Jy_0\in J、g(y0)≠0g(y_0)\ne0 とする。J0⊂JJ_0\subset J を、y0y_0 を含み gg が零点を持たない最大の開区間とし、

G(y)=∫y0ydηg(η)(y∈J0),F(x)=∫x0xf(s) ds(x∈I)G(y)=\int_{y_0}^{y}\frac{d\eta}{g(\eta)}\quad(y\in J_0),\qquad F(x)=\int_{x_0}^{x}f(s)\,ds\quad(x\in I)

とおく。また I0I_0 を、開集合 F−1(G(J0))⊂IF^{-1}(G(J_0))\subset I の x0x_0 を含む連結成分（開区間）とする。このとき

  1. φ=G−1∘F\varphi=G^{-1}\circ F は I0I_0 上の初期値問題 y′=f(x)g(y)y'=f(x)g(y)、y(x0)=y0y(x_0)=y_0 の解である。
  2. (ψ,I1)(\psi,I_1) をこの初期値問題の任意の解とすると、I1∩I0I_1\cap I_0 上で ψ=φ\psi=\varphi である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 20 件、定義なども含めて 25 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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