解の形と増大度

$x'=Ax$ の任意の解の各成分は、$A$ の固有値 $\lambda_j$ と Jordan 細胞の最大サイズ $m_j$ に対する $p_j(t)e^{\lambda_jt}$（$p_j$ は次数 $<m_j$ の多項式）の和である。$\sigma=\max\operatorname{Re}\lambda_j$ とすると、任意の $\varepsilon>0$ に対し $C$ が存在して $\|e^{tA}\|\le Ce^{(\sigma+\varepsilon)t}$（$t\ge0$）が成り立つ。とくに $\sigma<0$ なら $\|e^{tA}\|\le Ce^{-ct}$（$c>0$）である。