Schur 多項式の組合せ論的表示と Littlewood–Richardson 則

系 6.4（「SU(N) の表現と Young 図形」§6）・ ✓公理まで証明済み

$s_\nu=s^{\mathrm{comb}}_\nu=\sum_Tz^{\mathrm{wt}(T)}$ （ $\nu$ の半標準盤にわたる和）。
長さ $N$ 以下の分割 $\mu,\nu$ について $s_\mu s_\nu=\sum_\lambda c^\lambda_{\mu\nu}s_\lambda$ で、 $c^\lambda_{\mu\nu}$ は、 $\nu$ の半標準盤 $T$ で $\mathrm{wt}(T)=\lambda-\mu$ かつすべての $j$ について $\mu+\mathrm{wt}(T_{\ge j})$ が分割となるもの（Littlewood–Richardson 盤）の個数である（ $\ell(\lambda)\gt N$ の項は $0$ ）。したがって $\pi_\mu\otimes\pi_\nu\cong\bigoplus_\lambda c^\lambda_{\mu\nu}\pi_\lambda$ 。
Pieri 則: $h_k=s_{(k)}$ について $s_\mu h_k=\sum_\lambda s_\lambda$ 、和は $\lambda/\mu$ が $k$ 個の箱からなる 水平帯（どの 2 箱も同じ列にない、すなわち $\mu_i\le\lambda_i\le\mu_{i-1}$ ）であるような $\lambda$ にわたる。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 6 件、定義なども含めて 6 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Littlewood–Richardson 則（交代式による形）✓定理 6.3・SU(N) の表現と Young 図形
- Bender–Knuth 対合✓補題 6.1・SU(N) の表現と Young 図形
まっすぐな図形の Yamanouchi 盤✓補題 6.2・SU(N) の表現と Young 図形
重複度の公式と指標による判定✓系 3.4・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- 指標の基本性質✓命題 3.2・指標と SU(2)・SU(N) の表現
- 指標の直交関係✓定理 3.3・指標と SU(2)・SU(N) の表現

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。