数学 › 関数解析と作用素論 › Hilbert 空間の基礎

直交射影の性質

命題 3.6（「Hilbert 空間の基礎」§3） ・ ✓公理まで証明済み

MM を Hilbert 空間 H\mathcal{H} の閉部分空間とする。P=PMP = P_M について

  1. PP は線形で、∥Px∥≤∥x∥\|Px\|\le\|x\|（M≠{0}M\ne\{0\} なら作用素ノルムはちょうど 11）。
  2. P2=PP^2 = P、Ran(P)=M\mathrm{Ran}(P) = M、Ker(P)=M⊥\mathrm{Ker}(P) = M^\perp。
  3. すべての x,yx,y に対して ⟨Px,y⟩=⟨x,Py⟩\langle Px, y\rangle = \langle x, Py\rangle。
  4. PM⊥=1−PMP_{M^\perp} = 1 - P_M。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 4 件、定義なども含めて 4 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。