数学 › 関数解析と作用素論 › 周期作用素と Bloch–Floquet 分解

特性値の基本性質

命題 8.2（「周期作用素と Bloch–Floquet 分解」§8）・ ✓公理まで証明済み

四つの部分空間のそれぞれで、 $H_q$ の固有値はすべて単純である（定義の不等号が狭義であることはこれによる）。
$a_n(0)=b_n(0)=n^2$ 。
$q\mapsto a_n(q)$ 、 $b_n(q)$ は $\mathbb{R}$ 上で実解析的である。
$a_{2m}(-q)=a_{2m}(q)$ 、 $b_{2m}(-q)=b_{2m}(q)$ 、 $a_{2m+1}(-q)=b_{2m+1}(q)$ 。
周期 $\pi$ の Hill 作用素 $H_q$ の周期固有値は $\{a_{2m}\}\cup\{b_{2m}\}$ 、反周期固有値は $\{a_{2m+1}\}\cup\{b_{2m+1}\}$ で、これらが $\sigma(H_q)$ のバンドの端点である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 104 件、定義なども含めて 117 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

Hill 作用素のスペクトル✓定理 7.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
- バンド構造✓定理 5.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  - ミニマックス値定義 6.1・作用素の収束と摂動
  - 周期 Schrödinger 作用素のファイバー分解✓定理 5.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
    対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
    可逆元の集合は開✓系 6.2・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
    可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解（上で展開済み）
    Bloch–Floquet–Gelfand 変換のユニタリ性✓定理 4.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解（上で展開済み）
  - 可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
    可分解作用素のノルム✓補題 3.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
    自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
    有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
格子上の Bloch 分解✓定理 6.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
- Bloch–Floquet–Gelfand 変換のユニタリ性✓定理 4.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  - 多次元トーラスでの一意性✓命題 7.1・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
- Parseval の等式✓定理 5.1・フーリエ級数
  - Fejér の定理の帰結✓系 4.3・フーリエ級数
    Fejér の定理✓定理 4.2・フーリエ級数この先をたどる →
  - 正規直交基底の特徴づけ（パーセバルの等式）✓定理 6.4・Hilbert 空間の基礎
    二重直交補空間と稠密性の判定✓系 3.7・Hilbert 空間の基礎この先をたどる →
    ベッセルの不等式✓定理 6.2・Hilbert 空間の基礎
    命題 3.2✓Hilbert 空間の基礎
- バンド構造✓定理 5.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解（上で展開済み）
孤立固有値の解析摂動（Kato）✓定理 5.4・作用素の収束と摂動
- 自己共役作用素のリース射影✓命題 5.2・作用素の収束と摂動
- 近い射影は階数が等しい✓補題 5.3・作用素の収束と摂動

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

特性値の基本性質

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 3 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 3 件）