孤立固有値の解析摂動（Kato）

$A$ を自己共役作用素、$B$ を対称作用素で $D(A)\subset D(B)$ かつ $\|B\varphi\| \le a\|A\varphi\| + b\|\varphi\|$ $(\varphi \in D(A))$ とする。$E_0$ を $A$ の孤立固有値で多重度 $m = \dim \mathrm{Ker}(A - E_0) < \infty$ とし、$d = \mathrm{dist}(E_0, \sigma(A)\setminus\{E_0\}) > 0$ とする。$0 < r < d$ を固定し $\Gamma = \{|z - E_0| = r\}$, $\delta = \min(r, d - r)$ と置く。このとき

であり、$\kappa_0 = \min(1/M, 1/a)$（$a = 0$ なら $1/a = \infty$）と置き、$A_\kappa = A + \kappa B$（定義域 $D(A)$）とすると、次が成り立つ。

1. $|\kappa| < \kappa_0$ なる $\kappa\in\mathbb{C}$ について $\Gamma \subset \rho(A_\kappa)$ であり、$(A_\kappa - z)^{-1}$ は $\kappa$ についてノルム解析的、しかも $z \in \Gamma$ について一様に $\kappa$ のべき級数で表される。
2. $P(\kappa) = -\frac{1}{2\pi i}\oint_\Gamma (A_\kappa - z)^{-1}dz$ は $|\kappa|<\kappa_0$ でノルム解析的である。実数 $\kappa \in (-\kappa_0, \kappa_0)$ では $A_\kappa$ は自己共役で、$P(\kappa) = E_{A_\kappa}((E_0 - r, E_0 + r))$ は階数 $m$ の直交射影である。
3. 実数 $\kappa\in(-\kappa_0,\kappa_0)$ について、$\sigma(A_\kappa) \cap (E_0-r, E_0+r)$ は多重度の和がちょうど $m$ の固有値からなる。
4. $m = 1$ なら、その唯一の固有値 $E(\kappa)$ は $(-\kappa_0, \kappa_0)$ 上で実解析的である。