数学 › 関数解析と作用素論 › 周期作用素と Bloch–Floquet 分解

Hill 作用素のスペクトル

定理 7.2（「周期作用素と Bloch–Floquet 分解」§7）・ ✓公理まで証明済み

$k\in\mathbb{R}$ 、 $E\in\mathbb{R}$ について、 $E$ がファイバー $H(k)$ の固有値であることと $\Delta(E)=2\cos k$ は同値である。
$\sigma(H)=\{E\in\mathbb{R}:|\Delta(E)|\le 2\}$ 。
$k\in(0,\pi)$ では $H(k)$ の固有値はすべて単純で、各バンド関数 $E_n$ は $[0,\pi]$ 上で狭義単調である。第 $n$ バンドは $E_n(0)$ と $E_n(\pi)$ を端点とする閉区間で、 $E_n(0)$ は $\Delta(E)=2$ の根（周期固有値）、 $E_n(\pi)$ は $\Delta(E)=-2$ の根（反周期固有値）である。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 94 件、定義なども含めて 107 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

バンド構造✓定理 5.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
- ミニマックス値定義 6.1・作用素の収束と摂動
- 周期 Schrödinger 作用素のファイバー分解✓定理 5.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →
  - 可逆元の集合は開✓系 6.2・有界作用素と共役作用素
    ノイマン級数✓定理 6.1・有界作用素と共役作用素
  - 可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解（上で展開済み）
  - Bloch–Floquet–Gelfand 変換のユニタリ性✓定理 4.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
    多次元トーラスでの一意性✓命題 7.1・フーリエ級数この先をたどる →
- 可分解作用素のスペクトル✓定理 3.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  - 可分解作用素のノルム✓補題 3.1・周期作用素と Bloch–Floquet 分解
  - 自己共役性の基本判定✓命題 2.2・自己共役性の判定
  - 有界ボレル関数計算✓定理 6.2・スペクトル定理と関数計算
    有界関数のスペクトル積分✓命題 4.1・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    スペクトルはスペクトル測度の台✓命題 5.6・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    スペクトル積分の基本定理✓定理 4.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →
    ユニタリ作用素のスペクトル定理✓定理 5.3・スペクトル定理と関数計算この先をたどる →

これを使っている定理証明で参照している 1 件

特性値の基本性質✓命題 8.2・周期作用素と Bloch–Floquet 分解

Hill 作用素のスペクトル

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理 証明で参照している 1 件

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理証明で参照している 1 件