Hilbert 空間と作用素の直和

Hilbert 空間の列 $(\mathcal{H}_n)_{n\in\mathbb{N}}$ に対し、$\sum_n\|\psi_n\|^2 < \infty$ を満たす列 $\psi = (\psi_n)$, $\psi_n\in\mathcal{H}_n$ の全体に内積 $\langle\psi,\psi'\rangle = \sum_n\langle\psi_n,\psi'_n\rangle$ を入れたものを 直和 $\bigoplus_n\mathcal{H}_n$ という。$\mathcal{H}_n$ 上の自己共役作用素 $A_n$ に対し、$D(\bigoplus A_n) = \{\psi : \psi_n\in D(A_n),\ \sum_n\|A_n\psi_n\|^2 < \infty\}$ 上で $(\bigoplus A_n)\psi = (A_n\psi_n)$ と定める。