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定ファイバーの直積分

定義 5.3（「Hilbert 空間のテンソル積と直積分」§5）

(M,μ)(M,\mu) を σ-有限測度空間、H′\mathcal{H}' を可分な Hilbert 空間とする。写像 ψ:M→H′\psi:M\to\mathcal{H}' が 可測 であるとは、任意の e∈H′e\in\mathcal{H}' について x↦⟨e,ψ(x)⟩x\mapsto\langle e,\psi(x)\rangle が可測であることをいう。可測で ∫M∥ψ(x)∥2 dμ(x)<∞\int_M\|\psi(x)\|^2\,d\mu(x) < \infty を満たす ψ\psi の全体を、μ\mu-a.e. で一致するものを同一視して

∫M⊕H′ dμ=L2(M,μ;H′),⟨ψ,ψ′⟩=∫M⟨ψ(x),ψ′(x)⟩ dμ(x)\int_M^\oplus\mathcal{H}'\,d\mu = L^2(M,\mu;\mathcal{H}'),\qquad \langle\psi,\psi'\rangle = \int_M\langle\psi(x),\psi'(x)\rangle\,d\mu(x)

と書き、直積分 という。H′\mathcal{H}' を ファイバー という。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。