# 密度行列とエンタングルメント：部分トレース、POVM、Bell–CHSH 不等式、Lindblad 方程式 > 密度行列と部分トレースで部分系の状態を定式化し、Schmidt 分解、POVM と Naimark の拡張、CHSH 不等式の古典限界 2 と量子限界 2√2、Lindblad 方程式の完全正値性を証明する。 > https://rikai.mugen-giken.com/physics/quantum-mechanics-2/density-matrices-entanglement ## 0. この記事の要点 ふつうの量子力学では、系の状態を 1 本のベクトルで表しました。ところが、ランダムに準備された粒子や、別の粒子と強く結びついた粒子の片方だけを見る場合、1 本のベクトルでは状態を書けません。この記事では、そうした状態を表す道具（密度行列）、より一般的な測定の表し方、離れた 2 地点の測定結果の相関が古典的な説明を超えること、環境の影響で状態が変わっていく様子を順に見ます。読み終えると、「全体は完全にわかっているのに、部分については何もわからない」という状況を式で説明できるようになります。 - 状態ベクトルで書けない状態、つまり統計的な混合や、他の系と相関した部分系の状態は、トレース 1 の半正定値行列 $\rho$（密度行列）で表します。観測量 $A$ の期待値は $\mathrm{tr}(\rho A)$、時間発展は $\rho\mapsto U\rho U^\dagger$ です。 - 合成系 $A+B$ の純粋状態から $B$ を無視して得られる $A$ の状態は **部分トレース** $\rho_A=\mathrm{tr}_B\rho_{AB}$ で、一般に[混合状態](/physics/physics-columns/schrodingers-cat#def-mixture)になります。Schmidt 分解は、$\rho_A$ と $\rho_B$ の非零固有値が一致することを示し、[エンタングルメント](/physics/physics-columns/schrodingers-cat#def-entanglement)（量子もつれ）の強さをエントロピーで測れるようにします。 - 射影測定以外の測定は **POVM** $\{E_i\}$（$E_i\ge0$、$\sum E_i=1$）で表されます。Naimark の拡張定理（POVM を、大きな系での普通の測定に置き換えられるという定理）により、POVM はつねに、補助系を加えた射影測定として実現できます。 - 局所的な隠れた変数（粒子対があらかじめ共有している、測定結果を決める仕込み）で説明できる相関は CHSH の量 $S$ について $|S|\le2$ を満たします。量子力学では $|S|\le2\sqrt2$ が最大で、一重項状態がこれを達成します。 - 環境と相互作用する系の時間発展は Lindblad 方程式で書かれます。この方程式が与える時間発展は、トレースを保存し、完全正値（部分系に対する意味でも正）であることを証明できます。 ## 1. 動機：「状態ベクトルがない」状態 これまで、系の状態は状態ベクトル $|\psi\rangle$ でした。しかし、次の場面ではそれでは足りません。 第一に、**準備が不完全**な場合です。炉から出る原子の向きはランダムで、「上向き確率 $\frac12$、下向き確率 $\frac12$」と言うほかありません。これは状態ベクトル $|\!\uparrow\rangle+|\!\downarrow\rangle$ ではありません（それは $x$ 方向の確定した向きです）。 第二に、**他の系とつながっている**場合です。[2 つのスピンの一重項](/physics/quantum-mechanics/angular-momentum-and-spin) では全体は純粋状態ですが、片方だけを見ると、向きはまったくでたらめです。全体について知っていることが多すぎて、部分については何も言えない、という奇妙な構造です。 第三に、**測定そのもの**です。射影測定（固有状態への射影）しか許さないと、現実の検出器の働きが説明しきれません。 この章では、まず状態の一般化（密度行列）、次に部分系の状態（部分トレース）、測定の一般化（POVM）を導入し、その上で量子相関が古典的な説明を超えること（Bell–CHSH 不等式）と、環境の影響で状態が変化すること（Lindblad 方程式）を見ます。数学は有限次元ヒルベルト空間に限り、無限次元への拡張は[テンソル積に関する章](/mathematics/functional-analysis/tensor-products-direct-integrals)にあります。 ## 2. 密度行列 ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$（有限次元）上の線形作用素 $\rho$ が **密度行列**（統計演算子）であるとは、(1) $\rho\ge0$（半正定値：すべての $|\phi\rangle$ について $\langle\phi|\rho|\phi\rangle\ge0$）、(2) $\mathrm{tr}\,\rho=1$ を満たすことをいう。ある $|\psi\rangle$ で $\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ と書けるとき **純粋状態**、そうでないとき **混合状態** という。 $\rho$ はエルミートなので、スペクトル分解 $\rho=\sum_kp_k|k\rangle\langle k|$（$p_k\ge0$、$\sum_kp_k=1$）を持ちます。つまり **どんな密度行列も、純粋状態の確率的な混合** です。観測量 $A$ の期待値は $$ \langle A\rangle_\rho=\mathrm{tr}(\rho A)=\sum_kp_k\langle k|A|k\rangle $$ で、$\rho=|\psi\rangle\langle\psi|$ なら $\langle\psi|A|\psi\rangle$ に一致します。 密度行列 $\rho$ について $0<\mathrm{tr}\,\rho^2\le1$ であり、$\mathrm{tr}\,\rho^2=1$ となるのは $\rho$ が純粋状態のときに限る。 スペクトル分解で $\mathrm{tr}\,\rho^2=\sum_kp_k^2$ です。$0\le p_k\le1$ より $p_k^2\le p_k$ なので $\sum p_k^2\le\sum p_k=1$ で、等号は各 $k$ で $p_k\in\{0,1\}$、すなわち $p_k=1$ となる $k$ がちょうど 1 つ（他は 0）のとき、つまり $\rho$ がランク 1 の射影のときに限ります。 $\mathcal{H}=\mathbb{C}^2$ では、エルミート行列の基底は $\{1,\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z\}$ なので、トレース 1 のエルミート行列は $\rho=\tfrac12(1+\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\sigma})$（$\boldsymbol{r}\in\mathbb{R}^3$）と一意に書けます。 より $(\boldsymbol{r}\cdot\boldsymbol{\sigma})^2=|\boldsymbol{r}|^2$ なので固有値は $\tfrac12(1\pm|\boldsymbol{r}|)$ で、$\rho\ge0$ は $|\boldsymbol{r}|\le1$ と同値です。密度行列全体は **単位球** $|\boldsymbol{r}|\le1$ と 1 対 1 に対応します。球面 $|\boldsymbol{r}|=1$ が純粋状態、中心 $\boldsymbol{r}=0$ が完全に混合した状態 $\rho=\tfrac121$ です。$\mathrm{tr}\,\rho^2=\tfrac12(1+|\boldsymbol{r}|^2)$ で、純度は中心からの距離で決まります。$|\!\uparrow\rangle,|\!\downarrow\rangle$ を $\tfrac12$ ずつ混ぜても、$|\!\rightarrow\rangle,|\!\leftarrow\rangle$ を $\tfrac12$ ずつ混ぜても、どちらも $\rho=\tfrac121$ です。**同じ密度行列を与える混合の仕方は一意でありません。** ユニタリ時間発展 $|\psi\rangle\mapsto U|\psi\rangle$ は、混合に対しても $\rho\mapsto U\rho U^\dagger$ で、$\rho(t)=U(t)\rho(0)U(t)^\dagger$ を微分すれば von Neumann 方程式 $i\hbar\,\dot\rho=[H,\rho]$ を得ます（Heisenberg の運動方程式と符号が逆であることに注意）。 ## 3. 部分トレースとエンタングルメント 2 つの系 $A,B$ をあわせた系の状態空間は $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ です。$A$ だけに関する観測量 $X$ は、合成系では $X\otimes1_B$ として働きます。 $\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ 上の作用素 $Z$ に対し、**$B$ についての部分トレース** $\mathrm{tr}_BZ$ を、$\mathcal{H}_B$ の正規直交基底 $\{|f_j\rangle\}$ を使って $$ \mathrm{tr}_BZ=\sum_j(1_A\otimes\langle f_j|)\,Z\,(1_A\otimes|f_j\rangle) $$ で定める。$Z=X\otimes Y$ なら $\mathrm{tr}_B(X\otimes Y)=X\,\mathrm{tr}\,Y$ である。 (1) $\mathrm{tr}_BZ$ は基底 $\{|f_j\rangle\}$ の選び方によらず、$\mathcal{H}_A$ 上の作用素 $W$ で、すべての $\mathcal{H}_A$ 上の作用素 $X$ について $\mathrm{tr}(WX)=\mathrm{tr}\bigl(Z(X\otimes1_B)\bigr)$ を満たすものとして一意に定まる。(2) $\rho_{AB}$ が密度行列なら $\rho_A:=\mathrm{tr}_B\rho_{AB}$ も密度行列で、$A$ だけの観測量 $X$ について $\mathrm{tr}\bigl(\rho_{AB}(X\otimes1_B)\bigr)=\mathrm{tr}(\rho_AX)$ が成り立つ。 (1) $\mathcal{H}_A$ の基底 $\{|e_i\rangle\}$ を取ると、 $$ \mathrm{tr}(\mathrm{tr}_B(Z)\,X)=\sum_{i,j}\langle e_i|X(1\otimes\langle f_j|)Z(1\otimes|f_j\rangle)|e_i\rangle=\sum_{i,j}\langle e_if_j|(X\otimes1)Z|e_if_j\rangle=\mathrm{tr}\bigl((X\otimes1)Z\bigr) $$ です。右辺は基底によらないので、すべての $X$ に対して $\mathrm{tr}(WX)$ の値が決まれば $W$ が決まる（$\mathrm{tr}(WX)=0$ がすべての $X$ について成り立てば $X=W^\dagger$ として $\mathrm{tr}(WW^\dagger)=0$ から $W=0$）ので、一意性と基底によらないことが従います。(2) 期待値の等式は (1) そのものです。$\rho_A\ge0$ は、$|\phi\rangle\in\mathcal{H}_A$ について $\langle\phi|\rho_A|\phi\rangle=\sum_j\langle\phi f_j|\rho_{AB}|\phi f_j\rangle\ge0$ から、$\mathrm{tr}\rho_A=\mathrm{tr}\rho_{AB}=1$ は (1) で $X=1$ とすればよい。 したがって、$A$ だけを観測する人にとっての $A$ の状態は $\rho_A$ です。小さな例として、$\rho_{AB}=|\Phi\rangle\langle\Phi|$、$|\Phi\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$ を考えます。$\rho_{AB}=\tfrac12\sum_{i,j\in\{0,1\}}|i\rangle\langle j|\otimes|i\rangle\langle j|$ で、$B$ 側の因子のトレースは $\mathrm{tr}\,|i\rangle\langle j|=\delta_{ij}$ なので、$i\ne j$ の項は消えて $\mathrm{tr}_B\rho_{AB}=\tfrac12(|0\rangle\langle0|+|1\rangle\langle1|)=\tfrac121$ となります。 $|\Psi\rangle\in\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ は、正規直交系 $\{|a_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_A$、$\{|b_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_B$ と $s_k>0$（$\sum_ks_k^2=1$）を使って $$ |\Psi\rangle=\sum_{k=1}^rs_k\,|a_k\rangle\otimes|b_k\rangle $$ と書ける（$r$ は Schmidt ランク）。このとき $\rho_A=\sum_ks_k^2|a_k\rangle\langle a_k|$、$\rho_B=\sum_ks_k^2|b_k\rangle\langle b_k|$ であり、$\rho_A$ と $\rho_B$ の非零固有値（重複度を込めて）は一致する。 基底展開 $|\Psi\rangle=\sum_{ij}C_{ij}|e_i\rangle|f_j\rangle$ の係数行列 $C$ に を使うと $C_{ij}=\sum_kU_{ik}s_k\overline{V_{jk}}$ です（$U,V$ は列が正規直交）。$|a_k\rangle=\sum_iU_{ik}|e_i\rangle$、$|b_k\rangle=\sum_j\overline{V_{jk}}|f_j\rangle$ と置けば Schmidt 分解です。$\rho_{AB}=|\Psi\rangle\langle\Psi|$ の $B$ 部分トレースを取ると、$\langle b_k|b_{k'}\rangle=\delta_{kk'}$ より交差項が消えて $\rho_A=\sum_ks_k^2|a_k\rangle\langle a_k|$、$A$ と $B$ を入れ替えれば $\rho_B$ も同様です。 純粋状態 $|\Psi\rangle$ について、次は同値である。(a) $|\Psi\rangle=|\phi_A\rangle\otimes|\phi_B\rangle$（**積状態**）。(b) Schmidt ランクが 1。(c) $\rho_A$ が純粋状態。(d) $S(\rho_A):=-\mathrm{tr}(\rho_A\ln\rho_A)=0$。積状態でない純粋状態を **エンタングルしている** という。このとき $S(\rho_A)=S(\rho_B)=-\sum_ks_k^2\ln s_k^2$ で、$\ln\min(d_A,d_B)$ 以下であり、等号は $s_k^2$ がすべて等しいとき（**最大エンタングル状態**）に限る。 (a)⇔(b) は Schmidt 分解の形から、(b)⇔(c) は $\rho_A=\sum s_k^2|a_k\rangle\langle a_k|$ が純粋なのは項が 1 つのときだから、 による。(c)⇔(d) は $S=-\sum p_k\ln p_k$ が $\{p_k\}$ が $(1,0,\ldots,0)$ のときだけ $0$ だから。$S(\rho_A)=S(\rho_B)$ は固有値が共通なため。上界は、確率分布 $p_k$ のシャノンエントロピーが $\ln r$ 以下で、等号は一様分布であることから従う（イェンセンの不等式、$-x\ln x$ は凹）。 $|\Phi^+\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|00\rangle+|11\rangle)$ は積状態でなく、$s_1=s_2=1/\sqrt2$ で $\rho_A=\rho_B=\tfrac121$、$S=\ln2$ です。2 つのスピン 1/2 の一重項 $|\psi^-\rangle=\tfrac{1}{\sqrt2}(|\!\uparrow\downarrow\rangle-|\!\downarrow\uparrow\rangle)$ も同様に $\rho_A=\rho_B=\tfrac121$ です。全体は純粋状態（ばらつきがゼロ）なのに、片方だけの状態は最も混ざった状態になっています。全体について最大限の情報をもっていても、部分については何もわかりません。 逆向きの構成もあります。任意の混合状態 $\rho_A=\sum p_k|a_k\rangle\langle a_k|$ は、補助系 $B$ を用意して $|\Psi\rangle=\sum_k\sqrt{p_k}|a_k\rangle|b_k\rangle$（**純粋化**）の部分トレースとして得られます。混合状態は、見えない系とのエンタングルメントの影と見ることもできます。 ## 4. 一般化された測定：POVM 射影測定では、観測量 $A=\sum_ia_iP_i$ の固有値 $a_i$ を確率 $\mathrm{tr}(\rho P_i)$ で得ます。$P_i$ は直交射影で $P_iP_j=\delta_{ij}P_i$ です。 有限個の半正定値作用素 $E_1,\ldots,E_n\ge0$ が $\sum_iE_i=1$ を満たすとき、これを **POVM**（正作用素値測度）という。測定で結果 $i$ を得る確率は $p_i=\mathrm{tr}(\rho E_i)$ である。$E_i$ が互いに直交する射影ならば射影測定にほかならない。 $p_i\ge0$ と $\sum p_i=1$ は定義から従います。POVM では結果の数が空間の次元を超えてもよく、$E_i$ は互いに直交しなくてもよいのが射影測定との違いです。 Bloch 球の同じ平面上で $120^\circ$ ずつ離れた単位ベクトル $\boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2,\boldsymbol{n}_3$（$\sum_k\boldsymbol{n}_k=0$）に対して、$E_k=\tfrac23\cdot\tfrac12(1+\boldsymbol{n}_k\cdot\boldsymbol{\sigma})$ と置きます。各 $E_k\ge0$ で、$\sum_kE_k=\tfrac13(3\cdot1+0)=1$ です。2 次元の空間に 3 個の結果を持つ測定で、射影測定ではありません（$E_k$ はどれも射影ではない）。状態 $\boldsymbol{n}_k$ の粒子に対して、結果 $k$ を得る確率は $\tfrac23\cdot\tfrac12(1+1)=\tfrac23$、他の結果は $\tfrac16$ ずつです。互いに直交しない 3 つの状態を、完全ではないが、あるまとまりのある精度で見分ける測定の例です。 POVM は特殊な道具に見えますが、じつは **より大きな系での通常の測定に過ぎません**。 $\mathcal{H}$ 上の POVM $\{E_i\}_{i=1}^n$ に対し、補助系 $\mathcal{K}=\mathbb{C}^n$ と、ユニタリ $U$ on $\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ が存在して、任意の状態 $\rho$ について $$ \mathrm{tr}(\rho E_i)=\mathrm{tr}\Bigl[U(\rho\otimes|0\rangle\langle0|)U^\dagger\;(1\otimes|i\rangle\langle i|)\Bigr] $$ が成り立つ。すなわち POVM は、補助系を基準状態 $|0\rangle$ に用意して相互作用（$U$）させたあとの、補助系の射影測定 $\{1\otimes|i\rangle\langle i|\}$ として実現できる。 この定理のねらいは、POVM という新しい測定が、「補助系を足して全体をユニタリに発展させ、補助系を普通に測る」操作に言い換えられると示すことです。証明の方針は、$\sqrt{E_i}$ で作った写像 $V$ が内積を保つ（等長写像）ことを確かめ、それを全空間のユニタリに延ばすことです。 $V:\mathcal{H}\to\mathcal{H}\otimes\mathcal{K}$ を $V|\psi\rangle=\sum_i\sqrt{E_i}|\psi\rangle\otimes|i\rangle$ で定めます（$\sqrt{E_i}$ は半正定値平方根）。$V^\dagger V=\sum_i\sqrt{E_i}^\dagger\sqrt{E_i}=\sum_iE_i=1$ なので $V$ は等長写像です。射影 $P_i=1\otimes|i\rangle\langle i|$ について $V^\dagger P_iV=\sqrt{E_i}^\dagger\sqrt{E_i}=E_i$ です。次に $\mathcal{H}\otimes|0\rangle$ から $V\mathcal{H}$ への等長写像 $|\psi\rangle\otimes|0\rangle\mapsto V|\psi\rangle$ は、両者がともに $\dim\mathcal{H}$ 次元の部分空間なので、直交補空間どうし（次元は等しく $n\dim\mathcal{H}-\dim\mathcal{H}$）を任意の等長写像で結べば、全空間のユニタリ $U$ に拡張できます。このとき $\mathrm{tr}[U(\rho\otimes|0\rangle\langle0|)U^\dagger P_i]=\mathrm{tr}[V\rho V^\dagger P_i]=\mathrm{tr}[\rho V^\dagger P_iV]=\mathrm{tr}(\rho E_i)$ です。 結果が連続的な値をとる POVM（正作用素値測度 $E(\Delta)$）についても、同様の拡張が成り立ちます。ヒルベルト空間を大きくして、射影値測度（通常の自己共役作用素のスペクトル測度）にできます。これが一般の **Naimark の拡張定理** ですが、証明には測度論の道具が必要で、この記事では主張だけにとどめます。この定理は、時間のように、自己共役作用素では書けない観測量にも意味を与えます。ハミルトニアンが下に有界なスペクトルを持つと、$H$ と正準共役な自己共役な時間作用素は存在しません（Pauli の議論）が、POVM としての時間観測量は存在し、[時間作用素](/mathematics/spectral-scattering/time-operators)の章で扱う到着時刻の分布はこの形をしています。 ## 5. Bell–CHSH 不等式 遠く離れた 2 人 Alice と Bob が、一重項状態の粒子対の片方ずつを持ち、それぞれ測定装置の向きを選んで $\pm1$ の結果を得ます。Alice の設定を $a,a'$、Bob の設定を $b,b'$ とし、$E(a,b)$ を結果の積の平均（相関）として、 $$ S=E(a,b)+E(a,b')+E(a',b)-E(a',b') $$ を **CHSH の量** と呼びます。図のように、粒子源から出た粒子対の片方を Alice が、もう片方を Bob が受け取り、それぞれ 2 通りの向きのどちらかを選んで測ります。$a,a'$ は Alice が選ぶ 2 つの向き、$b,b'$ は Bob が選ぶ 2 つの向きで、1 回の測定では向きを 1 つだけ選びます。
粒子源 Alice 向き a か a' Bob 向き b か b' 結果 ±1 結果 ±1
結果が、粒子対が共有する隠れた変数 $\lambda$（確率分布 $\mu$ に従う）と各自の設定だけで決まるとする（**局所隠れた変数模型**）。すなわち Alice の結果は $A(a,\lambda)\in\{\pm1\}$、Bob の結果は $B(b,\lambda)\in\{\pm1\}$ で、$E(a,b)=\int A(a,\lambda)B(b,\lambda)\,d\mu(\lambda)$ とする。このとき $|S|\le2$ である。 各 $\lambda$ に対し、$A=A(a,\lambda)$ などと略記すると $$ AB+AB'+A'B-A'B'=A(B+B')+A'(B-B') $$ です。$B,B'\in\{\pm1\}$ なので、$B+B'$ と $B-B'$ のうち一方は $0$、他方は $\pm2$ です。$A,A'=\pm1$ より右辺は $\pm2$ です。これを $\mu$ で平均すれば $|S|\le2$ です。 量子力学では、同じ量が、局所隠れた変数模型の限界を超えます。 $A,A'$ が $\mathcal{H}_A$ 上の、$B,B'$ が $\mathcal{H}_B$ 上のエルミート作用素で、いずれも 2 乗が $1$（固有値 $\pm1$）とする。$S=A\otimes(B+B')+A'\otimes(B-B')$ に対し、任意の状態で $|\langle S\rangle|\le2\sqrt2$ である。一重項 $|\psi^-\rangle$ では、適切な向き $a,a',b,b'$ に対して $\langle S\rangle=2\sqrt2$ が達成される。 上界の証明のねらいは、$S$ を 2 乗すると $4$ から交換子の項を引いた形になり、交換子の大きさが抑えられるので $S$ も抑えられる、という流れを示すことです。展開では、$A,A'$ と $B,B'$ が別々の系の作用素で互いに可換なので、$B$ 側の積の順序だけに気をつければ済みます。 $A,A'$ は $B,B'$ と可換なので、展開すると $$ S^2=A^2\otimes(B+B')^2+A'^2\otimes(B-B')^2+AA'\otimes(B+B')(B-B')+A'A\otimes(B-B')(B+B') $$ です。$A^2=A'^2=1$、$B^2=B'^2=1$ より $(B+B')^2+(B-B')^2=2(B^2+B'^2)=4$、$(B+B')(B-B')=B'B-BB'=-[B,B']$、$(B-B')(B+B')=[B,B']$ なので $$ S^2=4\cdot1-[A,A']\otimes[B,B'] $$ です。$\|[A,A']\|\le\|AA'\|+\|A'A\|\le2$、同様に $\|[B,B']\|\le2$ だから $\|S^2\|\le4+4=8$、$\|S\|\le2\sqrt2$ です。 達成の部分は、一重項で $E(a,b)=-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ を示します。一重項は全スピンの各成分で消されるので（ の 1。$\boldsymbol{S}=\frac\hbar2\boldsymbol{\sigma}$）$(\sigma_i\otimes1+1\otimes\sigma_i)|\psi^-\rangle=0$、したがって $(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a}\otimes1)|\psi^-\rangle=-(1\otimes\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})|\psi^-\rangle$ です。これを使うと、$\rho_B=\tfrac121$ から $$ \langle(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\otimes(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})\rangle=-\langle1\otimes(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\rangle=-\tfrac12\mathrm{tr}\bigl[(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})\bigr]=-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} $$ です（最後は の $(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{b})(\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a})=\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{a})$ とトレースレス性）。そこで $\boldsymbol{a}=\hat{\boldsymbol{z}}$、$\boldsymbol{a}'=\hat{\boldsymbol{x}}$、$\boldsymbol{b}=-(\hat{\boldsymbol{z}}+\hat{\boldsymbol{x}})/\sqrt2$、$\boldsymbol{b}'=(\hat{\boldsymbol{x}}-\hat{\boldsymbol{z}})/\sqrt2$ と取ると、$E(a,b)=E(a,b')=E(a',b)=1/\sqrt2$、$E(a',b')=-1/\sqrt2$ で、$S=4/\sqrt2=2\sqrt2$ です。
−4 −2√2 −2 0 2 2√2 4 局所隠れた変数（灰色の帯） 量子力学（枠線）
実験でも、量子力学の予言が観測されています。光子対を使った Aspect の実験（1982 年）以降、検出の抜け穴などを塞いだ実験（2015 年）まで、すべて $|S|>2$ が確認されています。局所実在論は破れています。ここで破れたのは **局所性と実在性の組** で、因果性そのものではありません。実際、Alice の側だけの結果の統計 $\rho_A=\tfrac121$ は Bob の設定に依存せず、通信には使えません。 ## 6. 開放系：Lindblad 方程式 系 $S$ が環境 $E$ と相互作用すると、$S$ の状態 $\rho_S=\mathrm{tr}_E\rho_{SE}$ の時間発展はもはやユニタリでありません。環境の記憶が短い（Markov 近似）ときには、$\rho_S$ は次の形の閉じた方程式に従います。 $H$ をエルミート、$L_k$ を任意の作用素（**跳躍演算子**）として、 $$ \frac{d\rho}{dt}=\mathcal{L}(\rho):=-\frac{i}{\hbar}[H,\rho]+\sum_k\left(L_k\rho L_k^\dagger-\frac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\}\right) $$ を **Lindblad 方程式**（GKSL 方程式）という。$\{X,Y\}=XY+YX$。 第 1 項は通常のユニタリな発展、第 2 項が環境の影響です。第 2 項のうち $L_k\rho L_k^\dagger$ は、環境との相互作用で系が $L_k$ の分だけ「跳ぶ」効果、$-\tfrac12\{L_k^\dagger L_k,\rho\}$ は、跳躍が起きなかったことによる確率の減り分を補って、全体の確率を 1 に保つ項です。この方程式の意味は、(1) 確率が保存され、(2) $\rho$ が密度行列であり続け、さらに (3) 系が他の系とエンタングルしていても、全体の状態が正のままであること、です。後者が成り立たない方程式を作ると、「部分系に対する意味」で不整合が生じます。 作用素の空間の線形写像 $\Phi$ が **正** であるとは、半正定値を半正定値に写すこと。さらに、任意の補助系 $\mathbb{C}^N$ について $\Phi\otimes\mathrm{id}_N$ も正であるとき **完全正値**（CP）という。たとえば $\Phi(\rho)=\sum_iK_i\rho K_i^\dagger$（**Kraus 形**）は CP である。 Kraus 形が CP であることは、$(\Phi\otimes\mathrm{id})(Z)=\sum_i(K_i\otimes1)Z(K_i\otimes1)^\dagger\ge0$（$Z\ge0$）という直接の計算でわかります。CP 写像の合成と非負の線形結合は、また CP です。 有限次元で $\mathcal{L}$ を のものとする。このとき $t\ge0$ に対して $\Phi_t=e^{t\mathcal{L}}$ は、(1) トレースを保存し、(2) エルミート性を保ち、(3) 完全正値である。とくに $\Phi_t$ は密度行列を密度行列に写す。 証明のねらいは、$\mathcal{L}$ を「跳ぶ部分」$\mathcal{J}$ と「跳ばない部分」$\mathcal{K}$ に分け、それぞれが Kraus 形（CP）であることを使って、$e^{t\mathcal{L}}$ を CP 写像の和として書き下すことです。 (1) $\mathrm{tr}[H,\rho]=0$、$\mathrm{tr}(L_k\rho L_k^\dagger)=\mathrm{tr}(L_k^\dagger L_k\rho)=\tfrac12\mathrm{tr}\{L_k^\dagger L_k,\rho\}$ なので $\mathrm{tr}\,\mathcal{L}(\rho)=0$、したがって $\frac{d}{dt}\mathrm{tr}\,\rho=0$ です。(2) $\mathcal{L}(\rho)^\dagger=\mathcal{L}(\rho^\dagger)$ は各項を見ればわかるので、$\rho(0)^\dagger=\rho(0)$ なら $\rho(t)^\dagger$ も同じ方程式を満たす解で、一意性により $\rho(t)^\dagger=\rho(t)$ です。 (3) $G=-\dfrac{i}{\hbar}H-\dfrac12\sum_kL_k^\dagger L_k$ と置くと $\mathcal{L}(\rho)=\mathcal{K}(\rho)+\mathcal{J}(\rho)$、$\mathcal{K}(\rho)=G\rho+\rho G^\dagger$、$\mathcal{J}(\rho)=\sum_kL_k\rho L_k^\dagger$ です。$\mathcal{K}$ の生成する半群は $e^{t\mathcal{K}}\rho=e^{tG}\rho\,e^{tG^\dagger}$（Kraus 形）で CP です。$\mathcal{J}$ も Kraus 形で CP です。ここで Duhamel の公式（Dyson 級数と同じ構造、 の証明）により $$ e^{t\mathcal{L}}=e^{t\mathcal{K}}+\sum_{n\ge1}\int_{0 Duhamel 展開の各項は、「環境が系を $n$ 回観測（跳躍）した」軌跡に対応し、跳躍の間の発展 $e^{t\mathcal{K}}$ は非エルミートな有効ハミルトニアン $G$ による減衰です。逆に、トレース保存な CP の量子力学的半群の生成子は、必ずこの形になります（Gorini–Kossakowski–Sudarshan と Lindblad、1976 年。証明は ）。 二準位原子で、励起状態 $|e\rangle$ と基底状態 $|g\rangle$、$H=\tfrac{\hbar\omega_0}{2}\sigma_z$、跳躍演算子 $L=\sqrt\gamma\,|g\rangle\langle e|$ とします。$\rho=\begin{pmatrix}\rho_{ee}&\rho_{eg}\\ \rho_{ge}&\rho_{gg}\end{pmatrix}$ とすると、$L\rho L^\dagger=\gamma\rho_{ee}|g\rangle\langle g|$、$L^\dagger L=\gamma|e\rangle\langle e|$ から $$ \dot\rho_{ee}=-\gamma\rho_{ee},\qquad\dot\rho_{gg}=+\gamma\rho_{ee},\qquad\dot\rho_{eg}=-\left(i\omega_0+\frac\gamma2\right)\rho_{eg} $$ となり、解は $\rho_{ee}(t)=\rho_{ee}(0)e^{-\gamma t}$、$|\rho_{eg}(t)|=|\rho_{eg}(0)|e^{-\gamma t/2}$ です。励起状態の存在確率は寿命 $T_1=1/\gamma$ で指数減衰し、コヒーレンス（非対角成分）は $T_2=2/\gamma$ で消えます。Bloch 球では状態ベクトルが球の内側へ縮み、最後は基底状態 $\boldsymbol{r}=-\hat{\boldsymbol{z}}$ に落ち着きます。減衰率 $\gamma$ は、[Fermi の黄金律](/physics/quantum-mechanics-2/time-evolution-perturbation)で原子と電磁場の連続的なモードの結合から計算できます（これが自然放出の Einstein の $A$ 係数です）。 ## 7. 演習 $|\Psi\rangle=\cos\theta\,|00\rangle+\sin\theta\,|11\rangle$（$0\le\theta\le\pi/2$）について、$\rho_A$ と、エンタングルメント・エントロピー $S(\rho_A)$ を求めよ。$S$ が最大になる $\theta$ はいくつか。 これはすでに Schmidt 分解の形で、$s_1=\cos\theta$、$s_2=\sin\theta$ なので により $\rho_A=\cos^2\theta\,|0\rangle\langle0|+\sin^2\theta\,|1\rangle\langle1|$、$S=-\cos^2\theta\ln\cos^2\theta-\sin^2\theta\ln\sin^2\theta$ です。$\theta=0,\pi/2$ では $S=0$（積状態）、$\theta=\pi/4$ で $S=\ln2$（最大エンタングル状態、Bell 状態）で最大になります。 一重項にノイズを混ぜた状態 $\rho_p=p\,|\psi^-\rangle\langle\psi^-|+(1-p)\dfrac{1}{4}1$（$0\le p\le1$）で、 と同じ向きを選ぶと $\langle S\rangle=2\sqrt2\,p$ となることを示し、CHSH 不等式が破れるための $p$ の条件を求めよ。 $\langle X\otimes Y\rangle_{\rho_p}=p\langle X\otimes Y\rangle_{\psi^-}+(1-p)\cdot\tfrac14\mathrm{tr}(X\otimes Y)$ で、$X=\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{a}$ などはトレースが $0$ なので第 2 項は消えます。したがって相関は一重項の相関の $p$ 倍、$\langle S\rangle=2\sqrt2\,p$ です。$|S|>2$ となる条件は $p>1/\sqrt2\approx0.707$ です。逆に $p\le1/\sqrt2$ の状態は（この向きの選び方では）CHSH 不等式を破りません。 跳躍演算子 $L=\sqrt{\gamma_\varphi/2}\,\sigma_z$ だけをもつ Lindblad 方程式（$H=0$）を、2 準位系で解け。さらに、 の自然放出と純粋位相緩和を同時に考えたとき、コヒーレンスの減衰率 $1/T_2$ を $1/T_1$ と $\gamma_\varphi$ で表せ。 $L^\dagger L=\tfrac{\gamma_\varphi}{2}1$ なので $\mathcal{L}(\rho)=\tfrac{\gamma_\varphi}{2}(\sigma_z\rho\sigma_z-\rho)$ です。$\sigma_z\rho\sigma_z$ は対角成分を変えず、非対角成分の符号を反転するので、$\dot\rho_{ee}=\dot\rho_{gg}=0$、$\dot\rho_{eg}=-\gamma_\varphi\rho_{eg}$ です。つまり populations はそのままでコヒーレンスだけが $e^{-\gamma_\varphi t}$ で消えます。自然放出と合わせると、非対角成分の減衰率は足し算になり、$\dfrac{1}{T_2}=\dfrac{1}{2T_1}+\gamma_\varphi$ です。したがって $T_2\le2T_1$ で、等号は純粋位相緩和がないとき（）に成り立ちます。 ## 参考文献 - J. J. Sakurai, J. Napolitano, *Modern Quantum Mechanics*, 3rd ed., Cambridge University Press, 2020 — 密度演算子、量子エンタングルメント、Bell の不等式の章。 - M. A. Nielsen, I. L. Chuang, *Quantum Computation and Quantum Information*, 10th Anniversary ed., Cambridge University Press, 2010 — 第 2 章（密度演算子、部分トレース、Schmidt 分解、POVM）、第 8 章（量子操作）。 - J. S. Bell, "On the Einstein Podolsky Rosen Paradox", *Physics* **1** (1964), 195. - J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony, R. A. Holt, "Proposed Experiment to Test Local Hidden-Variable Theories", *Phys. Rev. Lett.* **23** (1969), 880. - B. S. Tsirelson, "Quantum generalizations of Bell's inequality", *Lett. Math. Phys.* **4** (1980), 93. - G. Lindblad, "On the generators of quantum dynamical semigroups", *Commun. Math. Phys.* **48** (1976), 119.