Schmidt 分解

定理 3.3（「密度行列とエンタングルメント」§3）・ ✓公理まで証明済み

$|\Psi\rangle\in\mathcal{H}_A\otimes\mathcal{H}_B$ は、正規直交系 $\{|a_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_A$ 、 $\{|b_k\rangle\}\subset\mathcal{H}_B$ と $s_k>0$ （ $\sum_ks_k^2=1$ ）を使って

|\Psi\rangle=\sum_{k=1}^rs_k\,|a_k\rangle\otimes|b_k\rangle

と書ける（ $r$ は Schmidt ランク）。このとき $\rho_A=\sum_ks_k^2|a_k\rangle\langle a_k|$ 、 $\rho_B=\sum_ks_k^2|b_k\rangle\langle b_k|$ であり、 $\rho_A$ と $\rho_B$ の非零固有値（重複度を込めて）は一致する。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 14 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

特異値分解（Schmidt 展開）✓定理 7.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
- Hilbert–Schmidt の定理✓定理 4.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - ノルムは固有値として達成される✓補題 4.1・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    自己共役作用素のスペクトル✓定理 6.10・有界作用素と共役作用素この先をたどる →
  - コンパクト作用素は閉じた両側イデアル✓命題 3.2・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
  - 対角作用素のコンパクト性✓命題 3.6・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラス
    有限ランク近似✓定理 3.4・コンパクト作用素・Hilbert–Schmidt 作用素・トレースクラスこの先をたどる →

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

Schmidt 分解

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 1 件）

これを使っている定理

関連するノック 2 問

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）