物理学 › 場の量子論 › 有限温度の場の理論

熱平衡状態と虚時間発展

定義 2.1（「有限温度の場の理論」§2）

自己共役なハミルトニアン HH と β>0\beta\gt0 について、

⟨A⟩β=Tr(e−βHA)Z,Z=Tr e−βH\langle A\rangle_\beta=\frac{\mathrm{Tr}\big(e^{-\beta H}A\big)}{Z},\qquad Z=\mathrm{Tr}\,e^{-\beta H}

を熱平衡状態（Gibbs 状態）と呼びます。実時間の Heisenberg 演算子を A(t)=eiHtAe−iHtA(t)=e^{iHt}Ae^{-iHt}、虚時間の演算子を A(τ)≡eHτAe−HτA(\tau)\equiv e^{H\tau}Ae^{-H\tau}（t=−iτt=-i\tau）と書きます。ボソン的な演算子 A,BA,B について、虚時間の時間順序積の相関関数を

GAB(τ)=⟨TτA(τ)B⟩β={⟨A(τ)B⟩β(0<τ<β)⟨BA(τ)⟩β(−β<τ<0)G_{AB}(\tau)=\langle T_\tau A(\tau)B\rangle_\beta=\begin{cases}\langle A(\tau)B\rangle_\beta&(0\lt\tau\lt\beta)\\\langle BA(\tau)\rangle_\beta&(-\beta\lt\tau\lt0)\end{cases}

で定めます。フェルミオン的な演算子（奇数個の Fermi 場の積）どうしでは、τ<0\tau\lt0 の場合に符号 −1-1 を付けます。

本文で読む（前後の説明と例）→

閉包の状態

定義

定義は閉包の起点です（証明を要しません）。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。