松原和の公式

定理 4.2（「有限温度の場の理論」§4）・ ✓公理まで証明済み

$h$ を $\mathbb C$ 上の有理関数で、虚軸上に極をもたず、 $|z|\to\infty$ で $|h(z)|=O(|z|^{-2})$ とします。 $h$ の極を $z_j$ とすると

\frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}h\Big(\frac{2\pi in}\beta\Big)=-\sum_j\mathrm{Res}_{z=z_j}\Big[h(z)\,\frac12\coth\frac{\beta z}2\Big],\qquad \frac1\beta\sum_{n\in\mathbb Z}h\Big(\frac{(2n+1)\pi i}\beta\Big)=-\sum_j\mathrm{Res}_{z=z_j}\Big[h(z)\,\frac12\tanh\frac{\beta z}2\Big]

です。特に

\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1}{2\omega}\coth\frac{\beta\omega}2=\frac{1+2n_B(\omega)}{2\omega}\quad(\text{ボソン}),\qquad\frac1\beta\sum_n\frac{1}{\omega_n^2+\omega^2}=\frac{1-2n_F(\omega)}{2\omega}\quad(\text{フェルミオン})

（ $n_F=\frac1{e^{\beta\omega}+1}$ ）です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。