φ⁴ 理論の熱的質量

定理 5.1（「有限温度の場の理論」§5）・ ✓公理まで証明済み

Euclid 作用 $\int_0^\beta d\tau\int d^3x\big[\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac\lambda{4!}\phi^4\big]$ の理論で、1 ループの自己エネルギーは運動量によらず

\Sigma=\Sigma_{T=0}+\delta m^2(T),\qquad\delta m^2(T)=\frac\lambda2\int\frac{d^3k}{(2\pi)^3}\frac{n_B(\omega_k)}{\omega_k}

です。 $\Sigma_{T=0}$ は零温度の（くりこみで処理される）タドポールで、 $\delta m^2(T)$ は有限です。さらに $\lim_{m/T\to0}\frac{\delta m^2(T)}{T^2}=\frac{\lambda}{24}$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 17 件、定義なども含めて 22 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

φ⁴ 理論の自己エネルギーの Schwinger–Dyson 方程式✓命題 2.3・Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式
- Schwinger–Dyson 方程式✓定理 2.2・Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式
  - 全微分の積分は 0✓補題 2.1・Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式
自由スカラー場の熱的伝播関数✓命題 4.1・有限温度の場の理論
- 自由スカラー場ハミルトニアンの対角化✓定理 5.1・スカラー場の正準量子化
  - 正準交換関係との同値性✓命題 4.2・スカラー場の正準量子化
    生成・消滅演算子定義 4.1・スカラー場の正準量子化
松原和の公式✓定理 4.2・有限温度の場の理論
ζ(2) と Bose 積分✓補題 4.3・有限温度の場の理論
- 松原和の公式✓定理 4.2・有限温度の場の理論
- 単調収束定理（ベッポ・レヴィの定理）✓定理 5.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 可測関数の閉包性✓命題 3.4・ルベーグ積分の定義と収束定理
    可測性の同値な言い換え✓命題 3.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
    有理数の稠密性✓定理 5.2・実数の完備性とコーシー列この先をたどる →
  - 単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 単関数が定める測度✓補題 4.3・ルベーグ積分の定義と収束定理
    単関数の積分の基本性質✓補題 4.2・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 測度の下からの連続性✓命題 2.1・ルベーグ積分の定義と収束定理
  - 非負可測関数のルベーグ積分定義 5.1・ルベーグ積分の定義と収束定理

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

φ⁴ 理論の熱的質量

閉包の状態

前提をたどる 証明が使う定理・定義（直接 4 件）

これを使っている定理

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 4 件）