φ⁴ 理論の自己エネルギーの Schwinger–Dyson 方程式

Euclid 作用 $\int\big[\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\big]$ の理論で、完全な 2 点関数を $G(x,y)=\langle\phi(x)\phi(y)\rangle$、自己エネルギーを $G^{-1}=-\partial^2+m^2+\Sigma$、1PI 4 点関数を $\Gamma^{(4)}$（接続 4 点関数が $-\int\prod_iG(x_i,u_i)\,\Gamma^{(4)}(u_1,\dots,u_4)$、最低次は $\Gamma^{(4)}=\lambda\,\delta(u_1-u_2)\delta(u_1-u_3)\delta(u_1-u_4)$）とします。このとき厳密に

が成り立ちます。