Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式：経路積分の変数変換から Furry の定理・Källén–Lehmann 表示まで

0. この記事の要点

図を描いて足し上げる計算（摂動論）は、各次数で個別に確かめるしかないように見えます。この記事の疑問は、電荷の保存や運動方程式のような基本的な性質を、次数によらず一度に言えないか、ということです。鍵は「積分変数を取り替えても積分の値は変わらない」という単純な事実で、これだけから QED の恒等式を全次数で導き、さらに 2 点関数の形に一般的な制限がつくことまで示します。

• 経路積分は全微分の積分が $0$ になるので、$\big\langle\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\big\rangle$ は接触項（場が同じ点に重なるときだけ現れる $\delta$ 関数の項）$\delta(x-x_i)$ の和に等しくなります（Schwinger–Dyson 方程式）。これは「運動方程式は相関関数の中で、場が重なる点を除いて成り立つ」という主張で、自己エネルギーを完全な伝播関数と完全な頂点で書く厳密な方程式を与えます。
• 同じ論法を局所的な位相変換 $\psi\mapsto e^{i\alpha(x)}\psi$ に使うと、電流を含む任意の相関関数について $\partial_\mu\langle j^\mu(x)\cdots\rangle$ が接触項の和になります（一般次数の Ward–高橋恒等式）。ここから頂点の恒等式 $q_\mu\Gamma^\mu(p+q,p)=\not{q}-\Sigma(p+q)+\Sigma(p)$、真空偏極の横波性、S 行列の Ward 恒等式 $k_\mu\mathcal M^\mu=0$ が全次数で従います。
• 電荷共役の行列 $\mathcal C$（粒子と反粒子を入れ替える変換の行列）でフェルミオン・ループの向きを反転すると、光子の頂点が $n$ 個のループは $(-1)^n$ 倍になります。したがって光子を奇数本だけもつフェルミオン・ループは打ち消し合います（Furry の定理）。
• 正定値の Hilbert 空間・Lorentz 不変性・スペクトル条件から、2 点関数は自由場の伝播関数の重ね合わせ $\int d\mu^2\rho(\mu^2)D(x-y;\mu^2)$、$\rho\ge0$ になります（Källén–Lehmann 表示）。正準な場では $\int\rho=1$ なので場の留数は $0\le Z\le1$ で、伝播関数は上半平面を上半平面に写す Herglotz 関数（上半平面で虚部が非負になる正則関数）です。

この記事で使う事前知識

• 生成汎関数: 外場 $J$ を付けた経路積分 $Z[J]$ のことで、$J$ で微分すると相関関数が得られます。→ 生成汎関数
• Berezin 積分: Grassmann 変数（積が反可換な変数）についての積分で、$\int d\theta\,1=0$、$\int d\theta\,\theta=1$ と定めます。→ Berezin 積分
• 次元正則化: 時空の次元を連続変数に拡張して、積分の発散を抑える方法です。→ 次元正則化
• 電荷共役: 粒子と反粒子を入れ替える変換です。→ 電荷共役
• 1PI 頂点・自己エネルギー・Ward–高橋恒等式の 1 ループでの形: 1 本の線を切って 2 つに分かれない図の和と、伝播関数への補正、およびその 1 ループでの恒等式です。→ QED の 1 ループ
• 経路積分と時間順序積: 場の積の期待値を経路積分で書く方法です。→ 経路積分量子化

1. 動機：摂動論を使わずに言えること

QED の 1 ループでは Ward–高橋恒等式を $e^2$ の次数で図を見ながら証明し（定理 3.2［QED の 1 ループ］）、全次数の形は 注意 3.3［QED の 1 ループ］ で筋道だけを述べました。電磁場の量子化の 定理 6.3［電磁場の量子化とゲージ固定］ も、証明の所在を示すにとどめていました。本章ではこれらを、図を 1 つも描かずに、経路積分の変数変換だけから証明します。

鍵になる観察は単純です。積分 $\int d\phi\,\frac{d}{d\phi}(\cdots)$ は $0$ で、積分変数を $\phi\mapsto\phi+\epsilon(x)$ や $\psi\mapsto e^{i\alpha(x)}\psi$ と取り替えても積分の値は変わりません。この 2 つの事実を、作用の変化と挿入した場の変化に分けて書き下したものが、それぞれ Schwinger–Dyson 方程式と Ward–高橋恒等式です。どちらも摂動論の各次数で成り立つだけでなく、形式的には非摂動的な主張です。

後半では、図の対称性から出る Furry の定理と、状態空間の正定値性から出る Källén–Lehmann 表示を扱います。後者は経路積分ではなく演算子形式の議論で、「伝播関数はどこまで任意か」という問いに答えます。

2. Schwinger–Dyson 方程式

この節では Euclid 空間の実スカラー場を扱います。重みは $e^{-S[\phi]}$、相関関数は $\langle F\rangle=\frac1Z\int\mathcal D\phi\,F\,e^{-S}$ です（定義 5.1［経路積分量子化］ の Euclid 版）。

補題 2.1（全微分の積分は 0）✓

$N$ 次元の積分で、$F$ が多項式、$S$ が $|\phi|\to\infty$ で $S\ge c|\phi|^2$（$c\gt0$）を満たす滑らかな関数なら、各 $i$ について

$$\int_{\mathbb R^N}d^N\phi\;\frac{\partial}{\partial\phi_i}\Big(F(\phi)e^{-S(\phi)}\Big)=0$$

です。Grassmann 変数 $\theta_i$ についても $\int d^N\theta\,\frac{\partial}{\partial\theta_i}(\cdots)=0$ です。

証明（補題 2.1）

$\phi_i$ についての積分を先に行うと、Fubini の定理により $\int_{-\infty}^\infty d\phi_i\,\partial_i(Fe^{-S})=\big[Fe^{-S}\big]_{\phi_i=-\infty}^{\phi_i=\infty}=0$ です（仮定から $Fe^{-S}$ は可積分で、端で $0$ に減衰します）。Grassmann の場合、$\frac{\partial}{\partial\theta_i}(\cdots)$ は $\theta_i$ を含まないので、Berezin 積分の定義 $\int d\theta_i\,1=0$ から $0$ です。

∎

格子で正則化した場の理論はこの補題の形をしています。以下では連続極限を形式的にとり、$\frac{\partial}{\partial\phi_i}$ を汎関数微分 $\frac{\delta}{\delta\phi(x)}$ に置き換えます。

定理 2.2（Schwinger–Dyson 方程式）✓

Euclid 作用 $S[\phi]$ の理論で、任意の点 $x,x_1,\dots,x_n$ について

$$\Big\langle\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\,\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\Big\rangle=\sum_{i=1}^n\delta(x-x_i)\big\langle\phi(x_1)\cdots\widehat{\phi(x_i)}\cdots\phi(x_n)\big\rangle$$

が成り立ちます（$\widehat{\ \ }$ はその因子を除くこと）。生成汎関数 $Z[J]=\int\mathcal D\phi\,e^{-S[\phi]+\int J\phi}$ で書くと

$$\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\Big[\phi\to\frac{\delta}{\delta J}\Big]Z[J]=J(x)\,Z[J]$$

です。Minkowski 空間（重み $e^{iS}$）では右辺の $\delta(x-x_i)$ が $i\,\delta^4(x-x_i)$ に、生成汎関数の式は $\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\big[\phi\to-i\frac{\delta}{\delta J}\big]Z[J]=-J(x)Z[J]$ になります。

証明（定理 2.2）

補題 2.1 を $F=\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)$ に適用すると、積の微分で

$$0=\int\mathcal D\phi\Big[\sum_i\delta(x-x_i)\prod_{j\ne i}\phi(x_j)-\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\prod_j\phi(x_j)\Big]e^{-S}$$

で、$Z$ で割れば第 1 式です。第 2 式は $F=e^{\int J\phi}$ に適用して $0=\int\mathcal D\phi\big[J(x)-\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}\big]e^{-S+\int J\phi}$ とし、$\phi(x)e^{\int J\phi}=\frac{\delta}{\delta J(x)}e^{\int J\phi}$ を使ったものです。Minkowski の場合は $e^{-S}$ を $e^{iS}$ に替えて同じ計算をすると、$\frac{\delta}{\delta\phi}e^{iS}=i\frac{\delta S}{\delta\phi}e^{iS}$ から $i$ が付きます。

∎

自由場 $S=\int\frac12\phi(-\partial^2+m^2)\phi$ では $\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}=(-\partial^2+m^2)\phi(x)$ なので、$n=1$ の式は $(-\partial_x^2+m^2)\langle\phi(x)\phi(y)\rangle=\delta(x-y)$、すなわち 2 点関数が Green 関数であることを言っています。Minkowski では $(\partial^2+m^2)\Delta_F(x-y)=-i\delta^4(x-y)$ で、補題 6.3［ディラック場の量子化］ の運動量表示の被積分関数に $-p^2+m^2$ を掛けると $-i$ になることと同じです。演算子形式では、この $\delta$ 関数は時間順序積を時間で微分したときに $\theta$ 関数の微分から出る等時刻交換子にあたります。

次の命題のねらいは、完全な 2 点関数に対する補正（自己エネルギー）を、別の完全な関数だけで書き直すことです。方針は、$n=1$ の Schwinger–Dyson 方程式に出る 4 点関数を、「2 点関数の積」と「4 本の脚に完全な伝播関数を付けた 4 点の頂点」に分けることです。ここで 1PI 4 点関数 $\Gamma^{(4)}$ は、最低次では裸の結合 $\lambda$ だけを与えるように定めた頂点です。

命題 2.3（φ⁴ 理論の自己エネルギーの Schwinger–Dyson 方程式）✓

Euclid 作用 $\int\big[\frac12(\partial\phi)^2+\frac12m^2\phi^2+\frac{\lambda}{4!}\phi^4\big]$ の理論で、完全な 2 点関数を $G(x,y)=\langle\phi(x)\phi(y)\rangle$、自己エネルギーを $G^{-1}=-\partial^2+m^2+\Sigma$、1PI 4 点関数を $\Gamma^{(4)}$（接続 4 点関数が $-\int\prod_iG(x_i,u_i)\,\Gamma^{(4)}(u_1,\dots,u_4)$、最低次は $\Gamma^{(4)}=\lambda\,\delta(u_1-u_2)\delta(u_1-u_3)\delta(u_1-u_4)$）とします。このとき厳密に

$$\Sigma(x,y)=\frac\lambda2G(x,x)\,\delta(x-y)-\frac\lambda6\int d^4u_1d^4u_2d^4u_3\,G(x,u_1)G(x,u_2)G(x,u_3)\,\Gamma^{(4)}(u_1,u_2,u_3,y)$$

が成り立ちます。

証明（命題 2.3）

定理 2.2 を $n=1$ で使うと、$\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}=(-\partial^2+m^2)\phi(x)+\frac\lambda6\phi(x)^3$ から

$$(-\partial_x^2+m^2)G(x,y)+\frac\lambda6\langle\phi(x)^3\phi(y)\rangle=\delta(x-y)$$

です。$\phi\mapsto-\phi$ の対称性から奇数点の関数は $0$ なので、4 点関数を連結部分と 2 点関数の積に分けると $\langle\phi(x)^3\phi(y)\rangle=3G(x,x)G(x,y)+G_c^{(4)}(x,x,x,y)$ です（3 つの $\phi(x)$ のうち $\phi(y)$ と組むものの選び方が 3 通り）。3 点関数が $0$ なので、連結 4 点関数は 4 本の脚に完全な伝播関数を付けた 1PI 4 点関数で、仮定の形に書けます。これを代入し、右から $G^{-1}$ を掛けて（$\int G(u_4,y')G^{-1}(y',y)=\delta(u_4-y)$）

$$(-\partial^2+m^2)\delta(x-y)+\frac\lambda2G(x,x)\delta(x-y)-\frac\lambda6\int G(x,u_1)G(x,u_2)G(x,u_3)\Gamma^{(4)}(u_1,u_2,u_3,y)=G^{-1}(x,y)$$

を得ます。$G^{-1}$ の定義と比べて主張を得ます。

∎

右辺の第 1 項は完全な伝播関数で描いたタドポール、第 2 項は 1 つの頂点が裸で残りが完全な頂点の「サンセット」です。最低次では $\frac\lambda2G_0(x,x)$ が 例 3.2［くりこみ理論入門］ のタドポールに、$-\frac{\lambda^2}6G_0(x,y)^3$ が 2 ループのサンセット図（対称因子 $\frac16$）に一致します。この方程式は $\Sigma$ を $G$ と $\Gamma^{(4)}$ で閉じた形に書いたもので、$\Gamma^{(4)}$ に近似（たとえば裸の頂点）を入れて $G$ について自己無撞着に解くと、摂動級数の無限個の図を一度に足し上げられます。

自己エネルギーの Schwinger–Dyson 方程式。太線は完全な伝播関数、白丸は完全な 1PI 4 点頂点。裸の頂点は 1 つだけ残る。

3. 一般次数の Ward–高橋恒等式

ここからは Minkowski 空間の QED を扱います。記法は QED の 1 ループと同じで、$D_\mu=\partial_\mu+ie_0A_\mu$、ゲージ固定項 $-\frac1{2\xi}(\partial A)^2$、相関関数は $\langle\cdots\rangle=\langle\Omega|T\cdots|\Omega\rangle$（定理 3.7［経路積分量子化］ により経路積分の期待値）です。電流は $j^\mu=\bar\psi\gamma^\mu\psi$ で、相互作用は $-e_0j^\mu A_\mu$ です。正則化は、フェルミオンの測度の局所位相変換での不変性と、積分変数の平行移動での不変性を保つもの（次元正則化）を使います（注意 2.4［QED の 1 ループ］）。

次の定理のねらいは、積分変数を位相だけ回して付け替えたとき、積分の値が変わらないことを式にすることです。変わるのは作用（電流の発散が出る）と、挿入した場（接触項が出る）の 2 か所で、この 2 つが打ち消し合う関係がそのまま恒等式になります。

定理 3.1（Ward–高橋恒等式（相関関数の形））✓

フェルミオン場 $\psi(x_1),\dots,\psi(x_n)$、反フェルミオン場 $\bar\psi(y_1),\dots,\bar\psi(y_n)$、光子場 $A_{\nu_1}(z_1),\dots$ の任意の積を $X$ とすると

$$\partial_\mu\big\langle j^\mu(x)\,X\big\rangle=-\sum_{i=1}^n\big[\delta^4(x-x_i)-\delta^4(x-y_i)\big]\langle X\rangle$$

です。特に $X$ がフェルミオン場を含まなければ（たとえば $X=j^\nu(y)$ や光子場だけ）、右辺は $0$ です。

証明（定理 3.1）

経路積分 $\int\mathcal DA\,\mathcal D\psi\,\mathcal D\bar\psi\,X\,e^{iS}$ で、積分変数を $\psi\mapsto(1+i\alpha(x))\psi$、$\bar\psi\mapsto(1-i\alpha(x))\bar\psi$（$\alpha$ は滑らかで台がコンパクトな実関数、$A$ は動かさない）と変換します。これは変数の付け替えなので積分の値は変わりません。

測度。 ヤコビアンは $\psi$ について $\det(1+i\alpha)^{-1}$、$\bar\psi$ について $\det(1-i\alpha)^{-1}$（Grassmann 変数のヤコビアンは逆数）で、積は $\det(1+\alpha^2)^{-1}=1+O(\alpha^2)$ です。

作用。 ゲージ固定項と $F^2$ は $A$ だけを含むので変わりません。Dirac 項は $\bar\psi i\gamma^\mu(\partial_\mu+ie_0A_\mu)\psi$ の微分が $\alpha$ にも掛かる分だけ変わり、$\delta\mathcal L=\bar\psi i\gamma^\mu(i\partial_\mu\alpha)\psi=-(\partial_\mu\alpha)j^\mu$、部分積分して $\delta S=\int d^4x\,\alpha(x)\,\partial_\mu j^\mu(x)$ です。

挿入。 $\delta\psi(x_i)=i\alpha(x_i)\psi(x_i)$、$\delta\bar\psi(y_i)=-i\alpha(y_i)\bar\psi(y_i)$、$\delta A=0$ なので $\delta X=i\sum_i\big[\alpha(x_i)-\alpha(y_i)\big]X$ です。

積分の値が変わらないことの $\alpha$ の 1 次の部分は $0=\langle i\,\delta S\,X\rangle+\langle\delta X\rangle$、すなわち

$$0=i\int d^4x\,\alpha(x)\Big\{\partial_\mu\langle j^\mu(x)X\rangle+\sum_i\big[\delta^4(x-x_i)-\delta^4(x-y_i)\big]\langle X\rangle\Big\}$$

です。$\alpha$ は任意なので主張を得ます（$\partial_\mu$ を経路積分の外に出せるのは、経路積分の相関関数が $x$ の関数として微分されるからです。演算子形式では、$\partial_\mu$ が時間順序積の外にあることに対応します）。

∎

注意 3.2

証明で使ったのは、測度の不変性と作用の変化が $\alpha\,\partial_\mu j^\mu$ の形であることの 2 つだけです。変換が $\psi\mapsto e^{i\alpha\gamma^5}\psi$（軸性変換）のときは、$\bar\psi$ も $e^{i\alpha\gamma^5}$ で変わるので、形式的なヤコビアンは $\det(e^{i\alpha\gamma^5})^{-2}$ となり、正則化すると $1$ になりません。これが アノマリーの起源です。ベクトル変換では $\psi$ と $\bar\psi$ のヤコビアンが打ち消し合い、この問題は起こりません。

3.1. 頂点の Ward–高橋恒等式

定義 3.3（完全な伝播関数と電流の頂点関数）↗

Fourier 変換を $\psi$ に $e^{ip\cdot x}$、$\bar\psi$ に $e^{-ip\cdot x}$、電流に $e^{-iq\cdot x}$ の重みで行い、全運動量保存の $(2\pi)^4\delta^4(\cdot)$ を除いたものを

$$S(p)=\mathrm{FT}\,\langle\psi(x_1)\bar\psi(x_2)\rangle,\qquad S(p')\,\Gamma^\mu_j(p',p)\,S(p)=\mathrm{FT}\,\langle j^\mu(x)\psi(x_1)\bar\psi(x_2)\rangle\quad(p'=p+q)$$

と書きます。定義 3.1［QED の 1 ループ］ の記法で $S(p)=\frac{i}{\not{p}-m_0-\Sigma(p)}$ です。最低次は $\Gamma_j^\mu=\gamma^\mu$ です（自由場で $\langle\psi(x_1)\bar\psi(x)\rangle\gamma^\mu\langle\psi(x)\bar\psi(x_2)\rangle$）。

系 3.4（電流の頂点の Ward–高橋恒等式）✓

摂動論の全次数で

$$q_\mu\Gamma_j^\mu(p+q,p)=\not{q}-\Sigma(p+q)+\Sigma(p)$$

が成り立ちます。

証明（系 3.4）

定理 3.1 を $X=\psi(x_1)\bar\psi(x_2)$ として Fourier 変換します。左辺は部分積分で $\int d^4x\,e^{-iq\cdot x}\partial_\mu(\cdots)=iq_\mu\int d^4x\,e^{-iq\cdot x}(\cdots)$ なので $iq_\mu S(p')\Gamma^\mu_jS(p)$ です。右辺の第 1 項は $x=x_1$ と置くと $\psi(x_1)$ の重みが $e^{i(p'-q)\cdot x_1}=e^{ip\cdot x_1}$ になって $-S(p)$、第 2 項は $x=x_2$ で $\bar\psi$ の重みが $e^{-i(p+q)\cdot x_2}$ になって $+S(p')$ です。よって

$$iq_\mu S(p')\Gamma_j^\mu S(p)=S(p')-S(p)$$

です。左から $S(p')^{-1}$、右から $S(p)^{-1}$ を掛けると $iq_\mu\Gamma_j^\mu=S(p)^{-1}-S(p')^{-1}=-i\big(\not{p}-\Sigma(p)\big)+i\big(\not{p}'-\Sigma(p')\big)$ で、$\not{p}'-\not{p}=\not{q}$ から主張を得ます。

∎

定理 3.2［QED の 1 ループ］ は光子を切り取った 1PI 頂点 $\Gamma^\mu$ についての主張でした。電流の頂点 $\Gamma_j^\mu$ との違いは、電流が真空偏極の鎖を経て光子に変わる図を含むかどうかです。この違いが $q_\mu$ との縮約で消えることを示します。次の命題の証明では、Schwinger–Dyson 方程式を光子の場に使って、完全な光子の伝播関数 $D$、真空偏極 $\Pi$、自由な伝播関数 $D_0$ の関係を行列の積として書き、電流の保存から $q_\mu\Pi^{\mu\nu}=0$ を引き出します。

光子の作用の変分は

$$\frac{\delta S}{\delta A_\nu(x)}=K^{\nu\lambda}A_\lambda(x)-e_0j^\nu(x),\qquad K^{\nu\lambda}=g^{\nu\lambda}\partial^2-\Big(1-\frac1\xi\Big)\partial^\nu\partial^\lambda$$

で、運動量表示では $K(q)=-q^2g+\big(1-\frac1\xi\big)qq$ です。自由な光子の伝播関数 $D_0(q)=\frac{-i}{q^2}\big[g-(1-\xi)\frac{qq}{q^2}\big]$（命題 6.1［電磁場の量子化とゲージ固定］ の一般の $\xi$ 版）とは $K(q)D_0(q)=i\,\mathbf 1$ の関係にあります（積を展開すると $qq$ の係数が $-(1-\xi)-(1-\frac1\xi)\xi=0$）。完全な光子の伝播関数 $D=\mathrm{FT}\langle A A\rangle$ と真空偏極は $D=D_0+D_0(i\Pi)D$ で結ばれています（命題 4.1［QED の 1 ループ］ の証明の鎖の和）。

命題 3.5（真空偏極の横波性と光子の頂点（全次数））✓

摂動論の全次数で次が成り立ちます。

1. $q_\mu\Pi^{\mu\nu}(q)=0$。
2. 光子を切り取った 1PI 頂点 $\Gamma^\mu$（定義 3.1［QED の 1 ループ］）は $\Gamma^\nu=\Gamma_j^\nu-i\,\Pi^{\nu\rho}(D_0)_{\rho\lambda}\Gamma_j^\lambda$ を満たし、したがって $q_\mu\Gamma^\mu=q_\mu\Gamma_j^\mu=\not{q}-\Sigma(p+q)+\Sigma(p)$ です。

証明（命題 3.5）

1。 Minkowski 版の 定理 2.2 を光子場について使います。$X=A_\nu(y)$ とすると $K\langle AA\rangle-e_0\langle jA\rangle=i\,\delta$、$X=j^\mu(x)$（光子場を含まない）とすると $K_y\langle A(y)j(x)\rangle=e_0\langle j(y)j(x)\rangle$ です。運動量表示で $X^{\mu\nu}(q)=\mathrm{FT}\langle j^\mu j^\nu\rangle$ と書くと、後者から $\mathrm{FT}\langle Aj\rangle=K^{-1}e_0X=-ie_0D_0X$、前者に代入して $KD=i-ie_0^2XD_0$、すなわち

$$D=D_0-e_0^2D_0XD_0$$

です。$D=D_0+D_0(i\Pi)D$ と比べると $i\Pi D=-e_0^2XD_0$ です。定理 3.1 を $X=j^\nu(y)$ に使うと $\partial_\mu\langle j^\mu(x)j^\nu(y)\rangle=0$、運動量表示で $q_\mu X^{\mu\nu}=0$ なので、$q_\mu(i\Pi)^{\mu\nu}=-e_0^2q_\mu(XD_0D^{-1})^{\mu\nu}=0$ です。

2。 定理 2.2 を $X=\psi(x_1)\bar\psi(x_2)$ に使うと $K\langle A\psi\bar\psi\rangle=e_0\langle j\psi\bar\psi\rangle$ なので、$\mathrm{FT}\langle A\psi\bar\psi\rangle=-ie_0D_0\,S(p')\Gamma_jS(p)$ です。一方、1PI 頂点の定義から $\mathrm{FT}\langle A\psi\bar\psi\rangle=D\,S(p')(-ie_0\Gamma)S(p)$ です。比べて $\Gamma=D^{-1}D_0\Gamma_j$ で、$D=D_0+D_0(i\Pi)D$ から $D^{-1}D_0=\mathbf 1-i\Pi D_0$ なので主張の式です。$q_\nu$ を掛けると 1 により第 2 項が消え、系 3.4 を得ます。

∎

系 3.6（Ward–高橋恒等式と Z₁ = Z₂（全次数））✓

定理 3.2［QED の 1 ループ］ の頂点の恒等式は摂動論の全次数で成り立ち、したがって 系 3.4［QED の 1 ループ］ の $Z_1=Z_2$ も全次数で成り立ちます。

証明（系 3.6）

第 1 の主張は 命題 3.5 の 2 そのものです。系 3.4［QED の 1 ループ］ の証明は、頂点の恒等式を $q$ で 1 次まで展開することと、$\Sigma$ の Lorentz 構造だけを使い、次数を制限していないので、そのまま全次数で通ります。

∎

3.2. S 行列の Ward 恒等式

定理 3.7（Ward 恒等式（S 行列の形））✓

QED で、運動量 $k$（$k^2=0$）の外線光子を 1 本含み、他の外線がすべて質量殻上にある散乱振幅を $\mathcal M=\varepsilon_\mu(k)\mathcal M^\mu(k)$ と書きます。赤外発散は光子に小さな質量を与えるなどしてカレント保存を壊さずに正則化しておきます。このとき摂動論の各次数で $k_\mu\mathcal M^\mu(k)=0$ です。

証明（定理 3.7）

電流への書き換え。 LSZ 公式（定理 5.2［摂動論とファインマン則］ とその光子・Dirac 場版）により、光子の外線は相関関数 $\langle A_\nu(x)Y\rangle$（$Y$ は他の外線の場の積）の $k^2\to0$ の極の留数として現れ、偏極 $\varepsilon$ との縮約は $\varepsilon_\nu(-k^2)\langle\tilde A^\nu Y\rangle$ の極限です。$\varepsilon\cdot k=0$ なので $\varepsilon_\nu K^{\nu\lambda}(k)=-k^2\varepsilon^\lambda$ で、これは $\varepsilon_\nu K^{\nu\lambda}\langle\tilde A_\lambda Y\rangle$ に等しくなります。定理 2.2 から $K\langle AY\rangle=e_0\langle jY\rangle+(\text{接触項})$ で、接触項は $Y$ の中の光子場 $A(z)$ と $x$ が一致する $\delta^4(x-z)$ の項です。この項は運動量 $k$ の光子が別の外線光子に素通りする非連結な寄与で、外線運動量が異なる散乱振幅には寄与しません。したがって $\mathcal M^\mu$ は、$\langle j^\mu Y\rangle$ の残りの外線を LSZ で質量殻に乗せたもの（に定数を掛けたもの）です。この表示で $\mathcal M^\mu$ を任意の $\mu$ について定義します。

縮約。 定理 3.1 により、$k_\mu\,\mathrm{FT}\langle j^\mu Y\rangle$ は $-i\sum_i\big[\langle Y\rangle_{x=x_i}-\langle Y\rangle_{x=y_i}\big]$ の形の項の和です。$x=x_i$ の項では、フェルミオン $\psi(x_i)$ に流れる運動量が $p_i$ から $p_i-k$ にずれた $\langle Y\rangle$ が現れます。この項は $p_i^2\to m^2$ で極 $\frac{1}{p_i^2-m^2}$ をもたず（極は $(p_i-k)^2=m^2$ にあり、$k\ne0$ では $p_i^2=m^2$ と一致しません）、LSZ で $p_i^2-m^2$ を掛けて極限をとると $0$ になります。$y_i$ の項も同じです。よって $k_\mu\mathcal M^\mu=0$ です。

∎

この定理が 定理 6.3［電磁場の量子化とゲージ固定］ です。証明は、ゲージ固定やゲージパラメータ $\xi$ によらないことに注意してください。使ったのは電流の保存（測度と作用の位相変換での不変性）と、光子の運動方程式（Schwinger–Dyson 方程式）だけです。

4. Furry の定理

補題 4.1（電荷共役の行列とフェルミオンの伝播関数）✓

定理 5.3［ディラック場の量子化］ の $\mathcal C=i\gamma^2\gamma^0$ は $\mathcal C^{-1}\gamma^\mu\mathcal C=-(\gamma^\mu)^{\mathsf T}$ を満たします。したがって自由なフェルミオンの伝播関数 $S_0(k)=\frac{i(\not{k}+m)}{k^2-m^2+i\varepsilon}$ について $\mathcal C^{-1}S_0(k)\mathcal C=S_0(-k)^{\mathsf T}$ です。

証明（補題 4.1）

定理 5.3［ディラック場の量子化］ の $\mathcal C(\gamma^\mu)^{\mathsf T}\mathcal C^{-1}=-\gamma^\mu$ の両辺に左から $\mathcal C^{-1}$、右から $\mathcal C$ を掛けると $(\gamma^\mu)^{\mathsf T}=-\mathcal C^{-1}\gamma^\mu\mathcal C$ です。これを $\not{k}=k_\mu\gamma^\mu$ に使うと $\mathcal C^{-1}(\not{k}+m)\mathcal C=-\not{k}^{\mathsf T}+m=\big((-\not{k})+m\big)^{\mathsf T}$ で、分母は $k\mapsto-k$ で不変です。

∎

Furry の定理のねらいは、フェルミオン・ループを時計回りと反時計回りの 2 通りに回ったときの寄与が、頂点の数 $n$ に応じて $(-1)^n$ 倍だけ違うことを見て、$n$ が奇数のループを丸ごと消すことです。証明では、トレースの中の各因子を電荷共役の行列で変換して転置し、積の順序を逆にしたものが逆向きのループになる、という流れをたどります。

定理 4.2（Furry の定理）✓

QED の摂動論で、外線光子（または光子の内線）が $n$ 本付いた 1 つのフェルミオン・ループについて、ループの 2 つの向きの寄与は $(-1)^n$ 倍の関係にあります。したがって $n$ が奇数なら、2 つの向きの和は $0$ です。特に、光子だけを外線にもつ $n$ 点関数は $n$ が奇数なら全次数で $0$ です。

証明（定理 4.2）

光子の頂点が $\gamma^{\mu_1},\dots,\gamma^{\mu_n}$、その間のフェルミオンの運動量が $k_1,\dots,k_n$ のループの寄与は、因子 $-1$ と結合定数を除いて

$$L_+=\mathrm{tr}\big[\gamma^{\mu_1}S_0(k_1)\gamma^{\mu_2}S_0(k_2)\cdots\gamma^{\mu_n}S_0(k_n)\big]$$

をループ運動量で積分したものです。トレースは $\mathcal C^{-1}(\cdot)\mathcal C$ で不変なので、補題 4.1 を各因子に使うと

$$L_+=\mathrm{tr}\big[(-\gamma^{\mu_1\mathsf T})S_0(-k_1)^{\mathsf T}\cdots(-\gamma^{\mu_n\mathsf T})S_0(-k_n)^{\mathsf T}\big]=(-1)^n\,\mathrm{tr}\big[S_0(-k_n)\gamma^{\mu_n}\cdots S_0(-k_1)\gamma^{\mu_1}\big]$$

です（$\mathrm{tr}(M^{\mathsf T})=\mathrm{tr}\,M$ と $(M_1\cdots M_r)^{\mathsf T}=M_r^{\mathsf T}\cdots M_1^{\mathsf T}$）。右辺のトレースは、同じ頂点を逆の順に回り、フェルミオンの運動量の向きを反転したループ $L_-$ そのものです。よって $L_+=(-1)^nL_-$ です。$n\ge3$ では 2 つの向きは異なる図として両方とも和に現れるので、奇数の $n$ で打ち消し合います。$n=1$ では $L_+=-L_+$ から $L_+=0$ です。光子だけを外線にもつ関数のすべての図は、光子の線とフェルミオン・ループからなり、各ループの頂点の数の和の偶奇は外線の数の偶奇と一致します（内線光子は 2 つの頂点をもつ）。奇数なら頂点の数が奇数のループが必ずあり、他の部分を固定してそのループの向きについて和をとると $0$ です。

∎

注意 4.3

非摂動的には、Furry の定理は電荷共役 $C$ の不変性の帰結です。定理 5.3［ディラック場の量子化］ の $C$ の下で $j^\mu\mapsto-j^\mu$ で、相互作用 $-e_0j\cdot A$ を不変に保つには $A\mapsto-A$ とします。真空が $C$ 不変なら $\langle A\cdots A\rangle$（$n$ 個）$=(-1)^n\langle A\cdots A\rangle$ です。$\gamma^5$ を含む頂点（軸性カレント）は $C$ の下で符号を変えないので、$\langle j^{\mu5}j^\nu j^\lambda\rangle$ の三角図は Furry の定理で消えず、これが アノマリーの舞台になります。

例 4.4

光子 3 本の頂点 $\gamma\gamma\gamma$ は QED に存在しません（$n=3$）。一方、光子 4 本の箱型の図（光子–光子散乱）は $n=4$ で消えず、Euler–Heisenberg の有効ラグランジアン $\propto\frac{\alpha^2}{m^4}\big[(F_{\mu\nu}F^{\mu\nu})^2+\frac74(F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu})^2\big]$ を生みます。真空偏極の図に光子を 1 本加えた 3 点関数が 0 なので、外部電場中の真空偏極の 1 次の補正（電場の 1 次）も現れません。

5. Källén–Lehmann 表示と Herglotz 性

最後に、経路積分ではなく演算子形式で、2 点関数の一般形を決めます。ここでは記号を簡単にするためスカラー場を扱います。

この節のねらいは、相互作用のある理論の 2 点関数が、どんなに複雑でも質量の異なる自由場の伝播関数の重ね合わせで書けることを示すことです。方針は、2 つの場の間に「質量 $m_\lambda$ の運動量固有状態の完全系」を挟み、並進とブーストへの変換性から、行列要素が運動量によらず質量だけで決まることを使うことです。

定理 5.1（Källén–Lehmann 表示）✓

次を仮定します。(i) 正定値の Hilbert 空間に Poincaré 群のユニタリ表現 $U(a,\Lambda)$ があり、不変な真空 $|\Omega\rangle$ がただ 1 つある。(ii) 運動量 $\hat P^\mu$ のスペクトルは閉じた前方光錐 $\bar V_+$ に含まれ、$|\Omega\rangle$ の直交補空間は、質量 $m_\lambda\gt0$ の運動量固有状態 $|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle$（$\lambda$ は内部状態のラベル、和は連続な場合の積分も含む）で $\sum_\lambda\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E_{\boldsymbol p}}|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle\langle\lambda_{\boldsymbol p}|$ と分解される。(iii) $\hat\phi$ は Hermite なスカラー場で $U\hat\phi(x)U^{-1}=\hat\phi(\Lambda x+a)$、$\langle\Omega|\hat\phi(x)|\Omega\rangle=0$。このとき

$$\rho(\mu^2)=\sum_\lambda\delta(\mu^2-m_\lambda^2)\,\big|\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle\big|^2\ \ge0$$

と置くと

$$\langle\Omega|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|\Omega\rangle=\int_0^\infty d\mu^2\,\rho(\mu^2)\,D(x-y;\mu^2),\qquad \langle\Omega|T\hat\phi(x)\hat\phi(y)|\Omega\rangle=\int_0^\infty d\mu^2\,\rho(\mu^2)\,\Delta_F(x-y;\mu^2)$$

です。ここで $D(z;\mu^2)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E_{\boldsymbol p}}e^{-ip\cdot z}$、$\Delta_F(z;\mu^2)=\int\frac{d^4p}{(2\pi)^4}\frac{ie^{-ip\cdot z}}{p^2-\mu^2+i\varepsilon}$ は質量 $\mu$ の自由場のもの（補題 6.3［ディラック場の量子化］）です。

証明（定理 5.1）

$\langle\Omega|\Omega\rangle$ の成分は $\langle\Omega|\hat\phi|\Omega\rangle=0$ で落ちるので、(ii) の分解を 2 つの場の間に挿入すると

$$\langle\Omega|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|\Omega\rangle=\sum_\lambda\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E_{\boldsymbol p}}\langle\Omega|\hat\phi(x)|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle\langle\lambda_{\boldsymbol p}|\hat\phi(y)|\Omega\rangle$$

です。並進 $\hat\phi(x)=e^{i\hat P\cdot x}\hat\phi(0)e^{-i\hat P\cdot x}$ と $e^{i\hat P\cdot x}|\Omega\rangle=|\Omega\rangle$ から $\langle\Omega|\hat\phi(x)|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle=e^{-ip\cdot x}\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle$ です。$|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle=U(\Lambda_{\boldsymbol p})|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle$（$\Lambda_{\boldsymbol p}$ は $(m_\lambda,\boldsymbol 0)$ を $p$ に写すブースト）と選ぶと、真空の不変性と $U(\Lambda)^{-1}\hat\phi(0)U(\Lambda)=\hat\phi(0)$ から $\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol p}\rangle=\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle$ で、$\boldsymbol p$ によりません。Hermite 性から $\langle\lambda_{\boldsymbol p}|\hat\phi(y)|\Omega\rangle$ はその複素共役なので

$$\langle\Omega|\hat\phi(x)\hat\phi(y)|\Omega\rangle=\sum_\lambda\big|\langle\Omega|\hat\phi(0)|\lambda_{\boldsymbol 0}\rangle\big|^2D(x-y;m_\lambda^2)$$

となり、$\rho$ の定義で書き直したものが第 1 式です。時間順序積は $\theta(x^0-y^0)\langle\hat\phi(x)\hat\phi(y)\rangle+\theta(y^0-x^0)\langle\hat\phi(y)\hat\phi(x)\rangle$ なので、各 $\mu$ について $\theta(z^0)D(z)+\theta(-z^0)D(-z)=\Delta_F(z)$（補題 6.3［ディラック場の量子化］）を使って第 2 式を得ます。

∎

$\rho$ をスペクトル密度と呼びます。質量 $m$ の安定な 1 粒子状態があれば $\rho(\mu^2)=Z\delta(\mu^2-m^2)+\rho_{\mathrm c}(\mu^2)$ で、$Z=|\langle\Omega|\hat\phi(0)|\boldsymbol 0\rangle|^2$ は 定理 5.2［摂動論とファインマン則］ の $Z$ です。多粒子状態の連続部分 $\rho_{\mathrm c}$ は（$\phi^4$ のような $\phi\mapsto-\phi$ 対称な理論では）$\mu^2\ge(3m)^2$ から始まります。運動量空間では $\mathrm{FT}\langle T\hat\phi\hat\phi\rangle=\int d\mu^2\rho(\mu^2)\frac{i}{p^2-\mu^2+i\varepsilon}=\frac{iZ}{p^2-m^2+i\varepsilon}+\cdots$ で、1 粒子極が孤立していることが LSZ 公式の前提でした（注意 5.3［摂動論とファインマン則］）。

スペクトル密度 ρ(μ²) の概念図。質量 m の 1 粒子状態は μ² = m² に立つ δ 関数（重み Z）、多粒子状態は連続部分 ρ_c（φ → −φ 対称な理論では μ² = (3m)² から始まる）。目盛りは実際の比ではない。

系 5.2（正準な場の和則と 0 ≤ Z ≤ 1）✓

定理 5.1 の仮定に加えて、$\hat\phi$ が正準な等時刻交換関係 $[\hat\phi(t,\boldsymbol x),\partial_0\hat\phi(t,\boldsymbol y)]=i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ を満たすなら $\int_0^\infty\rho(\mu^2)d\mu^2=1$ です。したがって $0\le Z\le1$ で、$Z=1$ となるのは $\rho_{\mathrm c}=0$（場が多粒子状態と結合しない）のときに限ります。

証明（系 5.2）

定理 5.1 の第 1 式から $\langle\Omega|[\hat\phi(x),\hat\phi(y)]|\Omega\rangle=\int d\mu^2\rho(\mu^2)\big[D(x-y;\mu^2)-D(y-x;\mu^2)\big]$ です。$\partial_{y^0}$ をとって $x^0=y^0$ と置くと、$\partial_{y^0}D(x-y)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^32E}(iE)e^{-ip\cdot(x-y)}$ が等時刻で $\frac i2\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$、同様に $\partial_{y^0}D(y-x)\to-\frac i2\delta^3$ なので、括弧の微分は $\mu$ によらず $i\delta^3(\boldsymbol x-\boldsymbol y)$ です。左辺は仮定から $i\delta^3$ なので $\int\rho=1$ です。$\rho_{\mathrm c}\ge0$ から $Z=1-\int\rho_{\mathrm c}\le1$ です。

∎

くりこみの言葉では、正準なのは裸の場 $\phi_0$ で、$Z$ はその 1 粒子極の留数です。くりこまれた場を留数 $1$ に規格化すると $\phi_0=Z^{1/2}\phi$ なので、$Z$ は 定義 6.1［くりこみ理論入門］ の $Z_\phi$ にあたり、$Z\le1$ は「相互作用によって 1 粒子成分の重みは減る」ことを言っています。摂動論で $Z_\phi$ が紫外カットオフとともに（対数的に）$0$ に向かうことは、正則化を外した極限では裸の場が正準な場として意味をもたないことを表しています。

定義 5.3（Herglotz 関数）↗

上半平面 $\mathbb H=\{s:\mathrm{Im}\,s\gt0\}$ 上の正則関数 $f$ で、$\mathrm{Im}\,f(s)\ge0$ を満たすものを Herglotz 関数（Nevanlinna 関数）と呼びます。

定理 5.4（伝播関数の Herglotz 性）✓

$\rho\ge0$ を $[0,\infty)$ 上の測度で $\int\frac{\rho(\mu^2)}{1+\mu^2}d\mu^2\lt\infty$ を満たすものとし、

$$\Delta(s)=\int_0^\infty\frac{\rho(\mu^2)\,d\mu^2}{\mu^2-s}\qquad(s\in\mathbb C\setminus[0,\infty))$$

と置きます（定理 5.1 の運動量空間の伝播関数は $-i\Delta(p^2+i0)$）。このとき次が成り立ちます。

1. $\Delta$ は $\mathbb C\setminus[0,\infty)$ で正則で、$\Delta(\bar s)=\overline{\Delta(s)}$。
2. $\mathrm{Im}\,\Delta(s)=\mathrm{Im}\,s\int\frac{\rho(\mu^2)d\mu^2}{|\mu^2-s|^2}$。特に $\Delta$ は Herglotz 関数です。
3. $\rho$ が $s_0\gt0$ の近傍で連続な密度をもつなら $\lim_{\eta\downarrow0}\mathrm{Im}\,\Delta(s_0+i\eta)=\pi\rho(s_0)$。
4. $\int\rho=1$ なら、正の実軸以外の方向に $|s|\to\infty$ とすると $s\Delta(s)\to-1$。

証明（定理 5.4）

1。 $s$ が $[0,\infty)$ から距離 $\delta\gt0$ にあれば $|\mu^2-s|\ge\delta$ で、さらに $|\mu^2-s|\ge c(1+\mu^2)$（$c\gt0$ は $s$ の近傍で一様）なので、被積分関数とその $s$ 微分は $\frac{C\rho}{1+\mu^2}$ で抑えられ、微分と積分を交換できます。共役の式は被積分関数で明らかです。

2。 $\mathrm{Im}\frac1{\mu^2-s}=\frac{\mathrm{Im}\,s}{|\mu^2-s|^2}$ を積分します。$\rho\ge0$ なので $\mathrm{Im}\,s\gt0$ で $\mathrm{Im}\,\Delta\ge0$ です。

3。 $s=s_0+i\eta$ では $\mathrm{Im}\,\Delta=\int\rho(\mu^2)\frac{\eta}{(\mu^2-s_0)^2+\eta^2}d\mu^2=\pi\int\rho\,P_\eta(\mu^2-s_0)$、$P_\eta(t)=\frac1\pi\frac{\eta}{t^2+\eta^2}$ です。$P_\eta\ge0$、$\int P_\eta=1$ で、任意の $r\gt0$ について $\int_{|t|\gt r}P_\eta\to0$、$\sup_{|t|\gt r}P_\eta(t)(1+(s_0+t))\to0$ です。$|t|\lt r$ では $\rho$ の連続性から $\rho(s_0+t)$ は $\rho(s_0)$ に近く、$|t|\gt r$ の寄与は $\int\frac{\rho}{1+\mu^2}\lt\infty$ と上の評価で $0$ に行くので、$\pi\rho(s_0)$ に収束します。

4。 $s\Delta(s)=\int\rho(\mu^2)\frac{s}{\mu^2-s}d\mu^2$ です。$\arg s=\theta\in(0,2\pi)$ の半直線上では $|\mu^2-s|\ge|s|\,|\sin\theta|$（$\cos\theta\le0$ なら $|\mu^2-s|\ge|s|$）なので被積分関数は $\rho$ の定数倍で抑えられ、各点で $\frac{s}{\mu^2-s}\to-1$ です。優収束定理から $s\Delta\to-\int\rho=-1$ です。

∎

注意 5.5（伝播関数は自由場より速く減衰できない）

定理 5.4 の 4 により、正準な場の完全な伝播関数は大きな $|p^2|$ で自由場と同じ $\frac{i}{p^2}$ の速さで減衰します。$\rho\ge0$ である限り、$\frac{1}{(p^2)^2}$ のように速く減衰する伝播関数は $\int\rho=0$、すなわち $\rho=0$ を要求するので作れません。Pauli–Villars 正則化の $\frac{1}{p^2-m^2}-\frac{1}{p^2-M^2}$ は $\rho=\delta(\mu^2-m^2)-\delta(\mu^2-M^2)$ にあたり、負の重み（負ノルムの状態）を必要とします（演習 6.3）。高階微分の作用で紫外の振る舞いを良くする試みが、ユニタリ性か正定値性を犠牲にするのはこのためです。くりこまれた場では $\int\rho$ が発散し（系 5.2 の正準性が成り立たず）、伝播関数は自由場より遅く減衰してよく、実際に異常次元のぶんだけ遅く減衰します（次元正則化とくりこみ群の 演習 6.3［次元正則化とくりこみ群］）。

6. 演習

演習 6.1易

Euclid 空間の自由スカラー場について、定理 2.2 を $n=3$ で使い、4 点関数が $\langle\phi_x\phi_1\phi_2\phi_3\rangle=G(x,x_1)G(x_2,x_3)+G(x,x_2)G(x_1,x_3)+G(x,x_3)G(x_1,x_2)$ であることを導いてください（$G=(-\partial^2+m^2)^{-1}$、$m\gt0$ で減衰する解を選びます）。

解答

$\frac{\delta S}{\delta\phi(x)}=(-\partial^2+m^2)\phi(x)$ なので、定理 2.2 は

$$(-\partial_x^2+m^2)\langle\phi_x\phi_1\phi_2\phi_3\rangle=\delta(x-x_1)\langle\phi_2\phi_3\rangle+\delta(x-x_2)\langle\phi_1\phi_3\rangle+\delta(x-x_3)\langle\phi_1\phi_2\rangle$$

です。$n=1$ の式から $\langle\phi_i\phi_j\rangle=G(x_i,x_j)$ です。右辺に $G$ を作用させる（$x$ について $G=(-\partial^2+m^2)^{-1}$ を掛ける）と主張の式を得ます。$m\gt0$ では $-\partial^2+m^2$ は減衰する関数の空間で単射なので、解はこれに限ります。これは 定理 5.3［経路積分量子化］ の 4 点の場合で、Schwinger–Dyson 方程式は Wick の定理を帰納的に生成します。

演習 6.2標準

質量 $m$ の自由な実スカラー場について、複合演算子 $\mathcal O=\,:\!\hat\phi^2\!:$ の 2 点関数 $\langle\Omega|\mathcal O(x)\mathcal O(y)|\Omega\rangle$ のスペクトル密度が

$$\rho_{\mathcal O}(s)=\frac{1}{8\pi^2}\sqrt{1-\frac{4m^2}{s}}\;\theta(s-4m^2)$$

であることを示し、$\int\rho_{\mathcal O}$ が発散することの意味を述べてください。

解答

$\mathcal O$ が真空と結ぶのは 2 粒子状態だけで、$\langle\Omega|\mathcal O(0)|\boldsymbol k_1\boldsymbol k_2\rangle=2$ です（$a_{\boldsymbol k_1}a_{\boldsymbol k_2}$ の 2 通りの縮約）。同種粒子の 2 粒子状態の完全系は $\frac12\int d\tilde k_1d\tilde k_2|\boldsymbol k_1\boldsymbol k_2\rangle\langle\boldsymbol k_1\boldsymbol k_2|$（$d\tilde k=\frac{d^3k}{(2\pi)^32E}$）なので

$$\langle\mathcal O(x)\mathcal O(y)\rangle=2\int d\tilde k_1d\tilde k_2\,e^{-i(k_1+k_2)\cdot(x-y)}=\int\frac{d^4P}{(2\pi)^4}e^{-iP\cdot(x-y)}\,2\Phi_2(P)$$

です。ここで $\Phi_2(P)=\int d\tilde k_1d\tilde k_2(2\pi)^4\delta^4(P-k_1-k_2)$ は 命題 6.2［摂動論とファインマン則］ の 2 体の位相空間で、重心系で $\int d\Omega\frac{|\boldsymbol k|}{16\pi^2\sqrt s}=\frac{|\boldsymbol k|}{4\pi\sqrt s}=\frac{1}{8\pi}\sqrt{1-\frac{4m^2}s}$（$|\boldsymbol k|=\frac{\sqrt s}2\sqrt{1-4m^2/s}$）です。一方 $D(z;\mu^2)=\int\frac{d^4P}{(2\pi)^4}e^{-iP\cdot z}2\pi\theta(P^0)\delta(P^2-\mu^2)$ なので、$\int d\mu^2\rho(\mu^2)D$ と比べて $2\pi\rho_{\mathcal O}(s)=2\Phi_2$、すなわち主張の式です。$\rho_{\mathcal O}\to\frac1{8\pi^2}$（$s\to\infty$）なので $\int\rho_{\mathcal O}=\infty$ で、$\mathcal O$ は正準な場ではありません。実際 $\mathcal O$ の質量次元は $2$ で、2 点関数は $\frac{1}{p^2}$ より遅く（$\ln p^2$ のように）振る舞い、定理 5.4 の 4 の仮定が成り立ちません。

演習 6.3易

$0\lt m\lt M$ について $\Delta_{\mathrm{PV}}(s)=\frac{1}{m^2-s}-\frac{1}{M^2-s}$ が Herglotz 関数でないことを示してください。

解答

$s=M^2+i\eta$（$\eta\gt0$）では $\mathrm{Im}\,\Delta_{\mathrm{PV}}=\eta\Big[\frac{1}{(m^2-M^2)^2+\eta^2}-\frac{1}{\eta^2}\Big]$ で、$\eta\lt|M^2-m^2|$ なら第 2 項が勝って負です。定理 5.4 の 2 と比べると、これは $\rho=\delta(\mu^2-m^2)-\delta(\mu^2-M^2)$ の負の重みが原因です。$s\Delta_{\mathrm{PV}}(s)\to0$（$\int\rho=0$）なので 4 とも整合します。

参考文献

• M. E. Peskin, D. V. Schroeder『An Introduction to Quantum Field Theory』Addison-Wesley、1995 — 第 7 章（§7.1 Källén–Lehmann 表示、§7.4 Ward–高橋恒等式）、第 9 章 §9.6（Schwinger–Dyson 方程式）。
• S. Weinberg『The Quantum Theory of Fields, Vol. I』Cambridge University Press、1995 — 第 10 章（スペクトル表示、Ward–高橋恒等式）。
• J. C. Ward, “An identity in quantum electrodynamics”, Physical Review 78 (1950), 182. Y. Takahashi, “On the generalized Ward identity”, Il Nuovo Cimento 6 (1957), 371.
• F. J. Dyson, “The S matrix in quantum electrodynamics”, Physical Review 75 (1949), 1736. J. Schwinger, “On the Green’s functions of quantized fields. I”, Proceedings of the National Academy of Sciences 37 (1951), 452.
• W. H. Furry, “A symmetry theorem in the positron theory”, Physical Review 51 (1937), 125.
• G. Källén, “On the definition of the renormalization constants in quantum electrodynamics”, Helvetica Physica Acta 25 (1952), 417. H. Lehmann, “Über Eigenschaften von Ausbreitungsfunktionen und Renormierungskonstanten quantisierter Felder”, Il Nuovo Cimento 11 (1954), 342.