伝播関数の Herglotz 性

定理 5.4（「Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式」§5）・ ✓公理まで証明済み

$\rho\ge0$ を $[0,\infty)$ 上の測度で $\int\frac{\rho(\mu^2)}{1+\mu^2}d\mu^2\lt\infty$ を満たすものとし、

\Delta(s)=\int_0^\infty\frac{\rho(\mu^2)\,d\mu^2}{\mu^2-s}\qquad(s\in\mathbb C\setminus[0,\infty))

と置きます（定理 5.1 の運動量空間の伝播関数は $-i\Delta(p^2+i0)$ ）。このとき次が成り立ちます。

$\Delta$ は $\mathbb C\setminus[0,\infty)$ で正則で、 $\Delta(\bar s)=\overline{\Delta(s)}$ 。
$\mathrm{Im}\,\Delta(s)=\mathrm{Im}\,s\int\frac{\rho(\mu^2)d\mu^2}{|\mu^2-s|^2}$ 。特に $\Delta$ は Herglotz 関数です。
$\rho$ が $s_0\gt0$ の近傍で連続な密度をもつなら $\lim_{\eta\downarrow0}\mathrm{Im}\,\Delta(s_0+i\eta)=\pi\rho(s_0)$ 。
$\int\rho=1$ なら、正の実軸以外の方向に $|s|\to\infty$ とすると $s\Delta(s)\to-1$ 。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。