アノマリーとインスタントン：藤川の方法・ゲージ・アノマリーの相殺・θ 真空

0. この記事の要点

古典的な理論には、対称性があれば対応する保存量がある、という約束があります。ところが、量子論にすると、この約束が破れる場合があります。これをアノマリーと呼びます。この記事では、どれだけ破れるのかを実際に計算し、その破れが理論として成り立つための条件や、真空の構造とどう結びつくのかを順に見ていきます。読み終えると、アノマリーの係数を自分で計算でき、なぜ標準模型の粒子の組がちょうど釣り合うのかを説明できるようになります。

• 4 次元の $\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ について $\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5)=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$（$\epsilon^{0123}=+1$）、$\epsilon^{\mu\nu\alpha\beta}\epsilon_{\mu\nu\gamma\delta}=-2(\delta^\alpha_\gamma\delta^\beta_\delta-\delta^\alpha_\delta\delta^\beta_\gamma)$ が成り立ちます。2 成分の恒等式 $(\bar\sigma^\mu)_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}=2\epsilon_{ac}\epsilon_{bd}$ から、反可換な場について V−A の Fierz 変換 $(\bar\psi_1\gamma^\mu P_L\psi_2)(\bar\psi_3\gamma_\mu P_L\psi_4)=(\bar\psi_1\gamma^\mu P_L\psi_4)(\bar\psi_3\gamma_\mu P_L\psi_2)$ が出ます。
• 軸性変換 $\psi\mapsto e^{i\alpha\gamma^5}\psi$ では $\psi$ と $\bar\psi$ のヤコビアンが打ち消し合わず、ゲージ不変に正則化すると $\exp\big(i\int\alpha\frac{e^2}{16\pi^2}\epsilon FF\big)$ が残ります（藤川の方法）。これが ABJ アノマリー $\partial_\mu j^{\mu5}=2im\bar\psi\gamma^5\psi-\frac{e^2}{16\pi^2}\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}$ です。
• 非可換な軸性カレントでは群の因子が $\mathrm{tr}(t^a\{t^b,t^c\})$ の形で現れます。この量は複素共役表現で符号を変えるので、実表現・擬実表現では $0$ で、ゲージ・アノマリーの相殺条件は「左巻きの和 $-$ 右巻きの和 $=0$」です。$SU(2)$ には、Weyl 2 重項が奇数個だと理論が定義できない大域的アノマリー（Witten）があります。
• Euclid 空間のヤン–ミルズ作用は $S\ge\frac{8\pi^2}{g^2}|\nu|$（$\nu$ は位相的電荷）を満たし、等号は自己双対な配位（インスタントン）で成り立ちます。$\nu$ は全微分の積分で、異なる巻き付き数の古典真空の間のトンネル効果を表し、真空は $|\theta\rangle=\sum_ne^{in\theta}|n\rangle$ になります。アノマリーを積分すると、Dirac 演算子の零モードの数の差が $\nu$ で決まります（指数定理）。

この記事で使う事前知識

• 軸性カレント: 右巻きと左巻きのフェルミオンの数の差に対応するカレント。古典論では質量が $0$ なら保存します。→ 軸性カレント
• ヤン–ミルズ理論: 非可換なゲージ対称性をもつゲージ場の理論。→ ヤン–ミルズ
• 随伴表現: ゲージ群が自分自身の Lie 代数に作用する表現。→ 随伴表現
• 分配関数: 経路積分で、すべての配位の重みを足し合わせた量。
• パリティ・電荷共役: 空間反転と、粒子と反粒子の入れ替え。→ パリティ

1. 動機：古典的な対称性が量子論で失われる

非可換ゲージ理論の量子化の第 6 節では、軸性カレントが量子論で保存しないこと（定理 6.2［非可換ゲージ理論の量子化］）と、ゲージ・アノマリーの相殺条件（定理 6.5［非可換ゲージ理論の量子化］）を、導出の筋道だけを示して述べました。本章ではこれらを経路積分の測度の性質として証明します。

Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式の 注意 3.2［Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式］ で見たように、局所的な対称変換から Ward 恒等式を導く議論には「測度が不変であること」が含まれています。ベクトル変換では $\psi$ と $\bar\psi$ のヤコビアンが打ち消し合うのでこれは自明でした。軸性変換では打ち消し合わず、形式的には $\det(e^{2i\alpha\gamma^5})^{-1}$ が残ります。この行列式は $\mathrm{tr}\,\gamma^5=0$ と $\delta(0)=\infty$ の積という不定形で、正則化して初めて値が決まります。ここでいう正則化とは、無限に高いエネルギーのモードの寄与を、物理的な要請（ゲージ不変性）を保ったまま有限に切り詰める手続きのことです。藤川和男は 1979 年、ゲージ不変な正則化でこの値が $\epsilon FF$ に比例する有限の量になることを示しました。

アノマリーの計算には $\gamma^5$ と完全反対称テンソル $\epsilon$ の恒等式が欠かせません。弱い相互作用の計算でも同じ恒等式と Fierz 変換が使われる（弱い相互作用とニュートリノ）ので、まずそれらをまとめて証明します。後半ではアノマリーの積分値が位相的な量になることから、インスタントンと θ 真空に進みます。

2. γ⁵・ε テンソル・Fierz 変換

Minkowski 計量は $g=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)$、ガンマ行列は 定義 5.1［ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類］ のもので、$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$、$P_{L,R}=\frac12(1\mp\gamma^5)$ です。完全反対称テンソルは $\epsilon^{0123}=+1$ と規格化します（定義 6.1［非可換ゲージ理論の量子化］ と同じ）。

補題 2.1（ε の縮約恒等式）✓

$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=g_{\mu\alpha}g_{\nu\beta}g_{\rho\gamma}g_{\sigma\delta}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ について $\epsilon_{0123}=-1$ で、

$$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=-\det\begin{pmatrix}\delta^\mu_\alpha&\delta^\mu_\beta&\delta^\mu_\gamma&\delta^\mu_\delta\\\delta^\nu_\alpha&\delta^\nu_\beta&\delta^\nu_\gamma&\delta^\nu_\delta\\\delta^\rho_\alpha&\delta^\rho_\beta&\delta^\rho_\gamma&\delta^\rho_\delta\\\delta^\sigma_\alpha&\delta^\sigma_\beta&\delta^\sigma_\gamma&\delta^\sigma_\delta\end{pmatrix}$$

です。縮約すると

$$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\gamma\delta}=-2\big(\delta^\rho_\gamma\delta^\sigma_\delta-\delta^\rho_\delta\delta^\sigma_\gamma\big),\qquad\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho\delta}=-6\delta^\sigma_\delta,\qquad\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}=-24$$

です。

証明（補題 2.1）

$\epsilon_{0123}=g_{00}g_{11}g_{22}g_{33}\epsilon^{0123}=\det g=-1$ です。添字を下げる操作は各成分に $\pm1$ を掛けるだけで、4 つとも異なる添字では積が常に $\det g=-1$ なので、成分として $\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}=-\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$ です。$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon^{\alpha\beta\gamma\delta}$（数としての積）は、両方の添字の組について完全反対称で $(0123),(0123)$ で $1$ なので、行列式 $\det(\delta^{\mu}_{\alpha}\cdots)$ に等しくなります（行列式も同じ反対称性と規格化をもち、4 次元では反対称な 4 階テンソルはこの 1 つの定数倍しかないからです）。符号 $-1$ を掛けて第 1 式です。縮約は、行列式を第 1 行で展開して $\delta^\mu_\mu=4$ を使うと $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\beta\gamma\delta}=-\det_{3\times3}(\delta)$（$\nu\rho\sigma$ と $\beta\gamma\delta$ の 3 次の行列式）となり、これを繰り返すと $-2(\delta\delta-\delta\delta)$、$-6\delta$、$-24$ です（$k$ 次の行列式の最初の行と列を縮約すると、同じ展開で $(5-k)$ 倍の $k-1$ 次の行列式になります）。

∎

定理 2.2（γ⁵ の性質とトレース公式）✓

$\gamma^5=i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ について次が成り立ちます。

1. $(\gamma^5)^2=1$、$\{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0$、$(\gamma^5)^\dagger=\gamma^5$、$\gamma^5=-\frac{i}{4!}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma$。
2. $\mathrm{tr}\,\gamma^5=0$、$\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5)=0$、奇数個の $\gamma^\mu$ と $\gamma^5$ の積のトレースは $0$。
3. $\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma\gamma^5)=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$。
4. $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho=g^{\mu\nu}\gamma^\rho-g^{\mu\rho}\gamma^\nu+g^{\nu\rho}\gamma^\mu+i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_\sigma\gamma^5$。

証明（定理 2.2）

1。 $\gamma^\mu$ どうしは異なれば反可換なので、$\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ の 2 乗は並べ替えの符号 $(-1)^{3+2+1}=1$ と $(\gamma^0)^2(\gamma^1)^2(\gamma^2)^2(\gamma^3)^2=1\cdot(-1)^3=-1$ の積で $-1$、よって $(\gamma^5)^2=i^2\cdot(-1)=1$ です。$\gamma^\mu$ は 4 つの因子のうち自分以外の 3 つと反可換で自分とは可換なので、$\gamma^\mu$ を $\gamma^5$ の右から左へ移すと $(-1)^3$ が出ます。Hermite 性は $\gamma^{0\dagger}=\gamma^0$、$\gamma^{i\dagger}=-\gamma^i$ から $(\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)^\dagger=\gamma^{3\dagger}\gamma^{2\dagger}\gamma^{1\dagger}\gamma^{0\dagger}=-\gamma^3\gamma^2\gamma^1\gamma^0=-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$（逆順に並べ替える符号は $(-1)^6=1$）なので $\gamma^{5\dagger}=(-i)(-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3)=\gamma^5$ です。最後の式は、$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma$ の 24 個の項がすべて $\epsilon_{0123}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=-\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$ に等しい（置換の符号が $\epsilon$ と行列の並べ替えで 2 回出て打ち消す）ことから $-24\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=24i\gamma^5$ で、$-\frac{i}{24}\cdot24i\gamma^5=\gamma^5$ です。

2。 $\mathrm{tr}\,\gamma^5=\mathrm{tr}(\gamma^0\gamma^0\gamma^5)=-\mathrm{tr}(\gamma^0\gamma^5\gamma^0)=-\mathrm{tr}(\gamma^0\gamma^0\gamma^5)$（反可換性、次に巡回性）なので $0$ です。$\mathrm{tr}(\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^5)$ は、$\mu=\nu$ なら $g^{\mu\mu}\mathrm{tr}\,\gamma^5=0$、$\mu\ne\nu$ なら $\gamma^\mu,\gamma^\nu$ と異なる $\gamma^\lambda$ を選んで同じ論法（$\gamma^\lambda$ は 3 つの因子すべてと反可換）で $0$ です。奇数個の場合、$\gamma^5\gamma^{\mu_1}\cdots\gamma^{\mu_n}$ は $\gamma$ 行列 $n+4$ 個（奇数）の積の定数倍なので、補題 7.1［摂動論とファインマン則］ の 1 で $0$ です。

3。 添字に重複があれば、反交換関係で重複した 2 つを隣に寄せて $g^{\mu\mu}$ に置き換えると $\mathrm{tr}(\gamma\gamma\gamma^5)=0$ に帰着し、$0$ です。すべて異なれば、$\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma=\mathrm{sgn}(\pi)\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$（$\pi$ は $(0123)\mapsto(\mu\nu\rho\sigma)$ の置換）で、$\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=-i\gamma^5$ から $\mathrm{tr}=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(-i)\mathrm{tr}(\gamma^5\gamma^5)=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ です。

4。 両辺は $\mu,\nu,\rho$ について同じ「重複のある場合の振る舞い」をもちます。$\mu=\nu$ なら左辺は $g^{\mu\mu}\gamma^\rho$、右辺は $g^{\mu\mu}\gamma^\rho-g^{\mu\rho}\gamma^\mu+g^{\mu\rho}\gamma^\mu=g^{\mu\mu}\gamma^\rho$ で一致します（$\epsilon$ の項は $0$）。$\nu=\rho$、$\mu=\rho$ も同様です。すべて異なる場合は $g$ の項が消えます。残りの添字を $\sigma$ とすると（和をとらない）、3 の証明と同じく $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3=-i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^5$ です。右から $(\gamma^\sigma)^{-1}=\gamma^\sigma/g^{\sigma\sigma}=\gamma_\sigma$ を掛けると $\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho=-i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma^5\gamma_\sigma=i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\gamma_\sigma\gamma^5$ で、右辺の $\sigma$ についての和のうち残るのはこの項だけです。

∎

3 の公式の両辺に $\gamma^5$ を巡回的に移すと $\mathrm{tr}(\gamma^5\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma)=-4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ も同じです。4 は 3 個の $\gamma$ の積を基底 $\{\gamma^\mu,\gamma^\mu\gamma^5\}$ で展開したもので、両辺に $\gamma^\lambda\gamma^5$ を掛けてトレースをとると 3 に戻ります。

補題 2.3（2 成分の恒等式）✓

$\bar\sigma^\mu=(\mathbf 1,-\boldsymbol\sigma)$、$\bar\sigma_\mu=(\mathbf 1,\boldsymbol\sigma)$、$\epsilon_{12}=-\epsilon_{21}=1$、$\epsilon_{11}=\epsilon_{22}=0$ とすると

$$(\bar\sigma^\mu)_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}=2\epsilon_{ac}\epsilon_{bd}$$

です（$a,b,c,d\in\{1,2\}$、$\mu$ について和）。

証明（補題 2.3）

$\{\mathbf 1,\sigma^1,\sigma^2,\sigma^3\}$ は $2\times2$ 行列の空間の基底で、$\mathrm{tr}(\sigma^A\sigma^B)=2\delta^{AB}$ を満たすので、任意の行列 $X$ について $X=\frac12\sum_A\mathrm{tr}(\sigma^AX)\sigma^A$ です。$X$ を行列単位 $E_{da}$ にとって成分を読むと完全性 $\sum_A(\sigma^A)_{ab}(\sigma^A)_{cd}=2\delta_{ad}\delta_{bc}$ を得ます。よって $\sum_i\sigma^i_{ab}\sigma^i_{cd}=2\delta_{ad}\delta_{bc}-\delta_{ab}\delta_{cd}$ で、

$$(\bar\sigma^\mu)_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}=\delta_{ab}\delta_{cd}-\sum_i\sigma^i_{ab}\sigma^i_{cd}=2\big(\delta_{ab}\delta_{cd}-\delta_{ad}\delta_{cb}\big)$$

です。一方、2 次元では $\epsilon_{ac}\epsilon_{bd}=\delta_{ab}\delta_{cd}-\delta_{ad}\delta_{cb}$ です（両辺とも $a\leftrightarrow c$、$b\leftrightarrow d$ について反対称で、$(a,b,c,d)=(1,1,2,2)$ で $1$）。

∎

定理 2.4（V−A の Fierz 変換）✓

$\psi_1,\dots,\psi_4$ を互いに反可換な Dirac 場（または Grassmann 値のスピノル）とすると

$$\big(\bar\psi_1\gamma^\mu P_L\psi_2\big)\big(\bar\psi_3\gamma_\mu P_L\psi_4\big)=\big(\bar\psi_1\gamma^\mu P_L\psi_4\big)\big(\bar\psi_3\gamma_\mu P_L\psi_2\big)$$

です。$\gamma^\mu(1-\gamma^5)=2\gamma^\mu P_L$ なので、$(1-\gamma^5)$ で書いても同じ形です。可換な（c 数の）スピノルでは右辺の符号が $-$ になります。

証明（定理 2.4）

ワイル表示（定義 5.1［ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類］）では $\gamma^0\gamma^\mu=\mathrm{diag}(\bar\sigma^\mu,\sigma^\mu)$、$P_L=\mathrm{diag}(\mathbf 1,0)$ なので、$\psi=(\psi_L,\psi_R)$ と書くと $\bar\psi_i\gamma^\mu P_L\psi_j=\psi_{iL}^\dagger\bar\sigma^\mu\psi_{jL}$ です。成分を $\chi_i=\psi_{iL}$ と書き、補題 2.3 を使うと

$$\text{左辺}=(\bar\sigma^\mu)_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}\,\chi^*_{1a}\chi_{2b}\chi^*_{3c}\chi_{4d}=2\epsilon_{ac}\epsilon_{bd}\,\chi^*_{1a}\chi_{2b}\chi^*_{3c}\chi_{4d}$$

です。同様に右辺は $2\epsilon_{ac}\epsilon_{bd}\chi^*_{1a}\chi_{4b}\chi^*_{3c}\chi_{2d}$ です。反可換な因子の並べ替え $\chi^*_{1a}\chi_{4b}\chi^*_{3c}\chi_{2d}=-\chi^*_{1a}\chi_{2d}\chi^*_{3c}\chi_{4b}$（隣り合う交換 3 回）を行い、和の添字 $b,d$ を付け替えると、$\epsilon_{db}=-\epsilon_{bd}$ によって符号がもう一度反転し、右辺は左辺に一致します。c 数のスピノルでは並べ替えの符号が出ないので、全体の符号は $-$ です。

∎

例 2.5（物質中のニュートリノのポテンシャル）

$\nu_e$ と電子の荷電カレント相互作用 $-\frac{G_F}{\sqrt2}\big[\bar\nu_e\gamma^\mu(1-\gamma^5)e\big]\big[\bar e\gamma_\mu(1-\gamma^5)\nu_e\big]$ に 定理 2.4（$\psi_1=\psi_4=\nu_e$、$\psi_2=\psi_3=e$）を使うと $-\frac{G_F}{\sqrt2}\big[\bar\nu_e\gamma^\mu(1-\gamma^5)\nu_e\big]\big[\bar e\gamma_\mu(1-\gamma^5)e\big]$ です。静止した非偏極の電子の背景では、電子の部分の期待値のうち空間成分と軸性部分（スピンの平均）は消え、$\langle\bar e\gamma^0e\rangle=N_e$ だけが残ります。よって有効ラグランジアンは $-\frac{G_F}{\sqrt2}N_e\bar\nu_e\gamma^0(1-\gamma^5)\nu_e=-\sqrt2G_FN_e\,\nu_{eL}^\dagger\nu_{eL}$ で、左巻きの $\nu_e$ はポテンシャル $V=\sqrt2G_FN_e$ を感じます。これが 弱い相互作用とニュートリノの MSW 効果の出発点です。電子の場が 2 回現れるので、演算子として並べ替えると反交換子から電子の場を含まない項が出ますが、それは電子密度によらない定数で、物質効果には寄与しません。

3. ABJ アノマリー：藤川の方法

この節のねらいは、第 1 節で述べた不定形の行列式に、ゲージ不変な切り方で具体的な値を与えることです。方針は 3 段階です。まず、軸性変換で作用がどう変わるかを調べます。次に、測度の変化を $\not D$ の固有モードの和として書き、高いモードを $e^{(i\not D)^2/M^2}$ で抑えます。最後に $M\to\infty$ の極限で何が残るかを計算します。残るのは $\gamma^5$ のトレースが $0$ にならない項だけで、第 2 節のトレース公式がここで使われます。

定理 3.1（ABJ アノマリー（藤川の方法による導出））✓

質量 $m$ の Dirac 場が、ゲージ群の表現 $r$ で $D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a$ によりゲージ場（動的でも外場でもよい）に結合しているとします。フェルミオンの経路積分の測度を、$\not D$ の固有モードについてゲージ不変な減衰因子 $e^{(i\not D)^2/M^2}$（$M\to\infty$）で正則化すると、軸性カレント $j^{\mu5}=\bar\psi\gamma^\mu\gamma^5\psi$ は相関関数の中で

$$\partial_\mu j^{\mu5}=2im\,\bar\psi\gamma^5\psi-\frac{g^2}{16\pi^2}\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\,\mathrm{tr}_r\big(F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}\big)=2im\,\bar\psi\gamma^5\psi-\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F^a_{\alpha\beta}F^a_{\mu\nu}$$

を満たします（$F_{\mu\nu}=F^a_{\mu\nu}t^a$）。QED（$D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$）では $gt\to-e$ と置き換えて $\partial_\mu j^{\mu5}=2im\bar\psi\gamma^5\psi-\frac{e^2}{16\pi^2}\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}$ で、これが 定理 6.2［非可換ゲージ理論の量子化］ です。

証明（定理 3.1）

定理 3.1［Ward–高橋恒等式と Schwinger–Dyson 方程式］ の証明と同じく、積分変数を $\psi\mapsto(1+i\alpha\gamma^5)\psi$、$\bar\psi\mapsto\bar\psi(1+i\alpha\gamma^5)$ と変換します（$\psi^\dagger\mapsto\psi^\dagger(1-i\alpha\gamma^5)$ に $\gamma^0$ を掛け、$\gamma^5\gamma^0=-\gamma^0\gamma^5$ を使うと $\bar\psi$ の変換はこうなります）。

作用の変化。 $\{\gamma^5,\gamma^\mu\}=0$（定理 2.2）から、$\bar\psi(1+i\alpha\gamma^5)i\gamma^\mu D_\mu(1+i\alpha\gamma^5)\psi$ の $\alpha$ の 1 次は、微分が $\alpha$ に掛かる項 $-(\partial_\mu\alpha)j^{\mu5}$ だけが残ります（$\alpha$ に微分が掛からない 2 項は $\gamma^5\gamma^\mu=-\gamma^\mu\gamma^5$ で打ち消し合います）。質量項は $-m\bar\psi(1+i\alpha\gamma^5)^2\psi$ から $-2im\alpha\bar\psi\gamma^5\psi$ です。よって $\delta S=\int d^4x\,\alpha\big(\partial_\mu j^{\mu5}-2im\bar\psi\gamma^5\psi\big)$ です。

ヤコビアン。 $\psi$ と $\bar\psi$ が同じ行列 $1+i\alpha\gamma^5$ で変わるので、Grassmann 変数の測度は $\det(1+i\alpha\gamma^5)^{-2}=\exp\big(-2i\int d^4x\,\alpha(x)\,\mathcal A(x)\big)$ 倍になります。ここで $\mathcal A(x)$ は「$\mathrm{tr}[\gamma^5\delta^4(x-x)]$」で、トレースはスピノルと表現 $r$ の添字についてとります。$\not D$ の固有モード展開でこれを

$$\mathcal A(x)=\lim_{M\to\infty}\mathrm{tr}\Big[\gamma^5\,\langle x|e^{(i\not D)^2/M^2}|x\rangle\Big]$$

と正則化します。$(i\not D)^2$ はゲージ変換で共変なので、この正則化はゲージ不変です。

熱核の計算。 $\gamma^\mu\gamma^\nu D_\mu D_\nu=D^2+\frac14[\gamma^\mu,\gamma^\nu][D_\mu,D_\nu]$、$[D_\mu,D_\nu]=-igF_{\mu\nu}$、$[\gamma^\mu,\gamma^\nu]=-2i\sigma^{\mu\nu}$（$\sigma^{\mu\nu}=\frac i2[\gamma^\mu,\gamma^\nu]$）から $(i\not D)^2=-D^2+\frac g2\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ です。平面波で $\langle x|\cdot|x\rangle=\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{ik\cdot x}(\cdot)e^{-ik\cdot x}$ と書くと、$D_\mu$ は $D_\mu-ik_\mu$ に置き換わり、$-D^2\mapsto k^2+2ik\cdot D-D^2$ です。$k=M\kappa$ と変数変換すると

$$\mathcal A(x)=M^4\int\frac{d^4\kappa}{(2\pi)^4}\mathrm{tr}\Big[\gamma^5\exp\Big(\kappa^2+\frac{2i\kappa\cdot D}{M}-\frac{D^2}{M^2}+\frac{g\,\sigma F}{2M^2}\Big)\Big]$$

（$\sigma F=\sigma^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$）です。$\gamma^5$ とのトレースが $0$ でないためには $\gamma$ 行列が 4 個以上必要で（定理 2.2 の 2）、それを供給するのは $\sigma F$ だけです。$(\sigma F)^2$ は $M^{-4}$ を伴い $M^4$ と打ち消すので、他の因子は先頭の $e^{\kappa^2}$ だけを残し、それ以外はすべて $M\to\infty$ で消えます。$\kappa^0$ の積分は Wick 回転 $\kappa^0=i\kappa^4_E$ で定義し、$\int\frac{d^4\kappa}{(2\pi)^4}e^{\kappa^2}=i\int\frac{d^4\kappa_E}{(2\pi)^4}e^{-\kappa_E^2}=\frac{i}{16\pi^2}$ です。よって

$$\mathcal A(x)=\frac{i}{16\pi^2}\cdot\frac12\Big(\frac g2\Big)^2\mathrm{tr}\big(\gamma^5\sigma^{\mu\nu}\sigma^{\rho\sigma}\big)\,\mathrm{tr}_r\big(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma}\big)$$

です。$\mu\ne\nu$、$\rho\ne\sigma$ では $\sigma^{\mu\nu}\sigma^{\rho\sigma}=-\gamma^\mu\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\sigma$ なので、定理 2.2 の 3 から $\mathrm{tr}(\gamma^5\sigma^{\mu\nu}\sigma^{\rho\sigma})=4i\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ で（添字が重なる項は $\epsilon$ と同じく $0$）、

$$\mathcal A(x)=\frac{i}{16\pi^2}\cdot\frac{g^2}{8}\cdot4i\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}_r(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})=-\frac{g^2}{32\pi^2}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}_r(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})$$

です。

結論。 変数変換で積分の値は変わらないので、$\alpha$ の 1 次から $0=\big\langle i\delta S-2i\int\alpha\mathcal A\big\rangle$（挿入した場があれば接触項が加わります）、すなわち $\partial_\mu j^{\mu5}-2im\bar\psi\gamma^5\psi=2\mathcal A$ です。$\mathrm{tr}_r(t^at^b)=C(r)\delta^{ab}$ で主張を得ます。

∎

定義 6.1［非可換ゲージ理論の量子化］ と同じく $\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}=-8\boldsymbol E\cdot\boldsymbol B$ なので、QED の右辺は $\frac{e^2}{2\pi^2}\boldsymbol E\cdot\boldsymbol B$ です。証明の要点は、測度の変換は作用の変換と独立に、場の配位に依存する寄与を生みうることです。正則化を外すと $\mathrm{tr}\,\gamma^5=0$ なので形式的には $0$ に見えますが、紫外の無限個のモードの和が有限の残差を残します。正則化を変えても、ゲージ不変性（ベクトルカレントの保存）を保つ限り同じ結果になります。注意 6.3［非可換ゲージ理論の量子化］ の三角図の計算は、このことを 1 ループの図で確かめたものです。

系 3.2（フレーバーの軸性カレントのアノマリー）✓

質量 $0$ の Dirac 場の多重項 $\psi$ が、Hermite 行列 $t^b$ を通して外場 $A^b_\mu$ にベクトル的に結合している（$D_\mu=\partial_\mu-iA^b_\mu t^b$、結合定数は $t^b$ に含める）とします。$t^b$ と可換な Hermite 行列 $T$ について軸性カレント $j^{\mu5}_T=\bar\psi\gamma^\mu\gamma^5T\psi$ を作ると

$$\partial_\mu j^{\mu5}_T=-\frac{1}{32\pi^2}\,\mathrm{tr}\big(T\{t^b,t^c\}\big)\,\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F^b_{\alpha\beta}F^c_{\mu\nu}$$

です（$F^b$ は可換な外場の場の強さ）。

証明（系 3.2）

定理 3.1 の証明で $\alpha$ を $\alpha T$ に置き換えます。$T$ が $t^b$ と可換なので作用の変化は $\int\alpha\,\partial_\mu j^{\mu5}_T$ で、ヤコビアンのトレースには $T$ が挿入され、$-\frac{1}{32\pi^2}\epsilon\,\mathrm{tr}(TF_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})$ になります（$g$ は $t^b$ に含めました）。$F=F^bt^b$ で、$\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F^b_{\alpha\beta}F^c_{\mu\nu}$ は $b,c$ について対称なので $\mathrm{tr}(Tt^bt^c)$ を $\frac12\mathrm{tr}(T\{t^b,t^c\})$ に置き換えられ、2 倍して主張を得ます。

∎

$u,d$ クォーク（色 $N_c$）と光子では $T=\frac{\tau^3}2$、$t=eQ$、$Q=\mathrm{diag}(Q_u,Q_d)$ で、$\mathrm{tr}(T\{t,t\})=e^2N_c(Q_u^2-Q_d^2)$ です。これが 例 6.4［非可換ゲージ理論の量子化］ の $\pi^0\to\gamma\gamma$ の因子 $N_c(Q_u^2-Q_d^2)$ の由来です。アノマリーの係数が対称化された $\mathrm{tr}(T\{t^b,t^c\})$ で決まることが、次節の群論的な条件の出発点になります。

注意 3.3（Adler–Bardeen の定理）

定理 3.1 の右辺は高次の補正を受けません（Adler–Bardeen の定理、1969）。藤川の方法では、ヤコビアンの計算に相互作用の次数が現れないことにこれが反映されていますが、くりこみを含めた証明には、軸性カレントの演算子の定義（くりこみ）を全次数で追う必要があり、本章では主張として述べるにとどめます（Adler–Bardeen の原論文、または Bertlmann『Anomalies in Quantum Field Theory』第 6 章）。

4. ゲージ・アノマリー

ABJ アノマリーは大域的な対称性の破れなので、理論の無矛盾性を損ないません。カイラルなフェルミオンがゲージ場に結合すると事情が変わります。

定義 4.1（アノマリー係数）↗

コンパクトな Lie 群 $G$ の（一般に可約な）ユニタリ表現 $R$ の生成子 $t^a_R$ について、

$$\mathcal A^{abc}(R)=\mathrm{tr}_R\big(t^a\{t^b,t^c\}\big)$$

を表現 $R$ のアノマリー係数と呼びます。$a,b,c$ について完全対称です。

命題 4.2（アノマリー係数の性質）✓

1. $\mathcal A(R_1\oplus R_2)=\mathcal A(R_1)+\mathcal A(R_2)$。
2. 複素共役表現 $\bar R$（生成子 $t^a_{\bar R}=-(t^a_R)^{\mathsf T}$）について $\mathcal A(\bar R)=-\mathcal A(R)$。
3. $R$ が実表現または擬実表現（$\bar R\cong R$）なら $\mathcal A(R)=0$。特に $SU(2)$ のすべての表現と、任意の群の随伴表現で $0$ です。
4. 右巻き Weyl 場 $\psi_R$ が表現 $R$ に属するとき、$i\sigma^2\psi_R^*$ は表現 $\bar R$ に属する左巻き Weyl 場です。

証明（命題 4.2）

1 はトレースの加法性です。2：$t^a_{\bar R}=-(t^a)^{\mathsf T}$ は、$e^{i\alpha t}$ の複素共役 $e^{-i\alpha\bar t}=e^{-i\alpha t^{\mathsf T}}$（$t$ は Hermite）の生成子です。$\mathrm{tr}\big((-t^{a\mathsf T})(-t^{b\mathsf T})(-t^{c\mathsf T})\big)=-\mathrm{tr}\big((t^ct^bt^a)^{\mathsf T}\big)=-\mathrm{tr}(t^ct^bt^a)$ なので、対称化すると $\mathcal A(\bar R)=-\mathcal A(R)$ です。3：$\bar R\cong R$ ならある可逆行列 $W$ で $t^a_{\bar R}=Wt^a_RW^{-1}$ で、トレースは相似変換で不変なので $\mathcal A(R)=\mathcal A(\bar R)=-\mathcal A(R)$ です。$SU(2)$ の既約表現は次元ごとに 1 つしかなく、$\bar R$ は $R$ と同じ次元の既約表現なので $\bar R\cong R$ です（基本表現では具体的に $\sigma^2(-\sigma^{a\mathsf T})\sigma^2=\sigma^a$）。随伴表現は $(t^b_G)_{ac}=if^{abc}$ が純虚数で反対称なので $-(t^b_G)^{\mathsf T}=t^b_G$ です。4：Lorentz 変換では $\psi_R\mapsto A\psi_R$（$A\in SL(2,\mathbb C)$、定義 5.4［ローレンツ群・ポアンカレ群と粒子の分類］）で、$\sigma^2A^*\sigma^2=(A^\dagger)^{-1}$（$\det A=1$ の $2\times2$ 行列で成り立つ恒等式 $\sigma^2B^{\mathsf T}\sigma^2=\det B\cdot B^{-1}$ を $B=A^\dagger$ に使う）なので、$i\sigma^2\psi_R^*\mapsto(A^\dagger)^{-1}i\sigma^2\psi_R^*$ で左巻きです。ゲージ変換 $\psi_R\mapsto U\psi_R$ では $\psi_R^*\mapsto U^*\psi_R^*$ で、$U^*$ は $\bar R$ の表現行列です。

∎

以下のねらいは、カイラルなフェルミオンがゲージ場に結合する理論が矛盾なく定義できる条件を、群の表現だけで言い表すことです。軸性カレントのアノマリーの値が決まっているので、その係数を群の因子 $\mathrm{tr}(t^a\{t^b,t^c\})$ に分けて、ゲージ変換の下での破れを調べます。

左巻き Weyl 場の多重項（表現 $R$、生成子 $t^a$）が背景ゲージ場 $A_\mu=A^a_\mu t^a$ に結合しているとし、フェルミオンを積分した有効作用を $W[A]$ と書きます。作用には $\int A^a_\mu J^{\mu a}$ の形でカレントが現れるので、ゲージ変換 $\delta A^a_\mu=(D_\mu\theta)^a=\partial_\mu\theta^a+f^{abc}A^b_\mu\theta^c$ に対して

$$\delta_\theta W=-\int d^4x\,\theta^a(x)\,\mathcal G^a(x),\qquad\mathcal G^a=\langle(D_\mu J^\mu)^a\rangle$$

でアノマリー $\mathcal G^a$ を定めます（$W$ がゲージ不変なら $0$）。正則化について次を仮定します。

• (R1) 正則化は Lorentz 不変で、多重項の成分に一様に作用する。2 つの正則化の差は、場とその微分の Lorentz 不変な局所多項式で質量次元 $4$ 以下のもの（局所 counterterm）を $W$ に加えることで表される。アノマリー $\mathcal G^a$ 自身も、場とその微分の Lorentz 不変な局所多項式で質量次元 $4$ 以下のものである。
• (R2) ベクトル的に結合した Dirac 場の軸性カレントのアノマリーは、ベクトルカレントの保存を保つ正則化では 定理 3.1 の値をとる。

(R1) の下で、1 ループの $W$ の $A$ の 3 次の項はフェルミオンのループに 3 つの頂点 $t^a,t^b,t^c$ が付いた三角図で、ループの 2 つの向きに応じて群の因子 $\mathrm{tr}_R(t^at^bt^c)$ と $\mathrm{tr}_R(t^at^ct^b)$ が、表現によらない運動学的な因子に掛かります（伝播関数と $\gamma$ 行列は $t^a$ と可換だからです）。

補題 4.3（ε を含む 2 次の局所項の対称性）✓

$X^{abc}$ を定数とする。$\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma$ は $b,c$ について対称なので、$X^{abc}\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma$ は $X^{abc}$ の $b,c$ についての対称部分だけで決まる。とくに $\mathrm{tr}_R(t^at^bt^c)$ と $\mathrm{tr}_R(t^at^ct^b)$ の対称部分はどちらも $\frac12\mathcal A^{abc}(R)$ で、$f^{abc}$ を係数とする項は $0$ である。

証明（補題 4.3）

$(\mu,\nu)$ と $(\rho,\sigma)$ を入れ替える置換は偶置換なので $\epsilon^{\rho\sigma\mu\nu}=\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}$ で、添字の付け替えから $\epsilon\,\partial A^b\partial A^c=\epsilon\,\partial A^c\partial A^b$ です。$\mathrm{tr}(t^at^bt^c)$ の $b,c$ についての対称化は $\frac12\mathrm{tr}(t^a\{t^b,t^c\})=\frac12\mathcal A^{abc}$（定義 4.1）、$f^{abc}$ は $b,c$ について反対称です。

∎

定理 4.4（ゲージ・アノマリーの相殺条件）✓

(R1)(R2) を仮定し、ゲージ群 $G$ に結合するフェルミオンを 命題 4.2 の 4 によってすべて左巻き Weyl 場として表現 $R$ にまとめる。

1. 1 ループのアノマリーのパリティ奇の部分は、$A$ の 2 次で

$$\mathcal G^a=\frac{1}{48\pi^2}\,\mathcal A^{abc}(R)\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma+O(A^3)$$

である（多重項の成分を別々に同じ規則で正則化した場合。$\epsilon^{0123}=+1$）。 2. どの局所 counterterm を加えても、$\delta_\theta W$ のうち $\theta^a\epsilon\,\partial A^b\partial A^c$ の係数の $a,b,c$ について完全対称な部分は変わらない。したがって $\mathcal A^{abc}(R)\ne0$ ならアノマリーはどの正則化でも消えず、摂動論的に無矛盾なゲージ理論であるためには $\mathcal A^{abc}(R)=0$（すべての $a,b,c$）が必要である。左巻きと右巻きの場を区別して書けば、条件は $\sum_{\mathrm L}\mathcal A(R_{\mathrm L})-\sum_{\mathrm R}\mathcal A(R_{\mathrm R})=0$ である。

証明（定理 4.4）

(a) 形。 最低次のアノマリーは三角図の発散 $\partial_\mu$ を $t^a$ の頂点に掛けたもので、(R1) と次元・Lorentz 不変性から、パリティ奇の部分は $\theta^a$ に $\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma$ の定数係数の和が掛かった形です（$\epsilon$ を含み $A$ の 2 次で質量次元 $4$ の局所項はこれしかなく、$\epsilon\,\partial_\mu\partial_\nu\cdots$ は反対称性で消えます）。その係数は運動学的な数 $k_1,k_2$ によって $k_1\mathrm{tr}(t^at^bt^c)+k_2\mathrm{tr}(t^at^ct^b)$ と書け、補題 4.3 から実質的な係数は $c\,\mathcal A^{abc}(R)$、$c=\frac12(k_1+k_2)$ です。$c$ は表現によらないので、電荷 $1$ の $U(1)$ の左巻き Weyl 場 1 個（$t=1$、$\mathcal A=2$）で決めれば十分で、そのとき $\partial_\mu J^\mu_{\mathrm L}=2c\,\epsilon\,\partial A\partial A$ です。右巻きの Weyl 場は 命題 4.2 の 4 により複素共役表現の左巻き場なので、電荷 $1$ の右巻き場のアノマリーは同 2 から $-2c\,\epsilon\,\partial A\partial A$ です。

(b) $c$ を ABJ アノマリーで決める。 電荷 $1$ の Dirac 場 $\psi$ を、左巻き成分 $P_{\mathrm L}\psi$（$P_{\mathrm L}=\frac12(1-\gamma^5)$）が $A_{\mathrm L}$ に、右巻き成分が $A_{\mathrm R}$ に結合する形 $\bar\psi i\gamma^\mu(\partial_\mu-iA_{\mathrm L\mu}P_{\mathrm L}-iA_{\mathrm R\mu}P_{\mathrm R})\psi$ に書きます。$V=\frac12(A_{\mathrm L}+A_{\mathrm R})$、$\mathcal{A}_\mu=\frac12(A_{\mathrm R}-A_{\mathrm L})$ と置くと結合は $\bar\psi\gamma^\mu(V_\mu+\mathcal{A}_\mu\gamma^5)\psi$ で、ベクトルカレント $j=J_{\mathrm L}+J_{\mathrm R}$ が $V$ に、軸性カレント $j^5=J_{\mathrm R}-J_{\mathrm L}$ が $\mathcal A$ に結合します。2 つの Weyl 成分を別々に正則化すると $W=W_{\mathrm L}[A_{\mathrm L}]+W_{\mathrm R}[A_{\mathrm R}]$ で、(a) から

$$\partial_\mu j^\mu=2c\,\epsilon\bigl(\partial A_{\mathrm L}\partial A_{\mathrm L}-\partial A_{\mathrm R}\partial A_{\mathrm R}\bigr)=-8c\,\epsilon\,\partial V\partial\mathcal A,\qquad\partial_\mu j^{\mu5}=-4c\,\epsilon\bigl(\partial V\partial V+\partial\mathcal A\partial\mathcal A\bigr)$$

です（$\epsilon\,\partial X\partial Y$ は $X,Y$ について対称な双線形形式で、$A_{\mathrm L}=V-\mathcal A$、$A_{\mathrm R}=V+\mathcal A$）。この正則化はベクトルカレントを保存しません。局所 counterterm $\Gamma_\kappa=\kappa\int\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}V_\mu\mathcal A_\nu\partial_\rho V_\sigma$ を加えると、部分積分により $\delta V=\partial\theta$ では $\delta\Gamma_\kappa=-\kappa\int\theta\,\epsilon\,\partial\mathcal A\partial V$、$\delta\mathcal A=\partial\beta$ では $\delta\Gamma_\kappa=\kappa\int\beta\,\epsilon\,\partial V\partial V$ なので、2 つのアノマリーはそれぞれ $+\kappa\,\epsilon\,\partial\mathcal A\partial V$ と $-\kappa\,\epsilon\,\partial V\partial V$ だけずれます。$\kappa=8c$ と取るとベクトルカレントが保存し、$\mathcal A=0$ での軸性アノマリーは $-12c\,\epsilon\,\partial V\partial V$ です。

一方、パリティを保つ $\epsilon$ を含む次元 $4$ の局所項で $V,\mathcal A$ の 3 次のものは、$\epsilon$ の反対称性と部分積分により $\int\epsilon V\mathcal A\partial V$ の定数倍しかなく（$\epsilon VV\cdots=0$、$\epsilon\mathcal A\mathcal A\cdots=0$、$\mathcal A$ を 2 個含む残りの項 $\int\epsilon V\mathcal A\partial\mathcal A$ はパリティを破る）、その係数はベクトルカレントの保存で決まるので、ベクトルカレントを保つ正則化の軸性アノマリーは一意です（パリティを破る counterterm を許しても、$\int\epsilon V\mathcal A\partial\mathcal A$ の $\delta V=\partial\theta$ による変分はベクトルカレントのアノマリーに $\epsilon\,\partial\mathcal A\partial\mathcal A$ の項を加えるだけなので、ベクトルカレントの保存からその係数は $0$ です）。(R2) から、それは 定理 3.1（$gt\to1$、$m=0$）の $-\frac{1}{16\pi^2}\epsilon F_VF_V=-\frac{1}{4\pi^2}\epsilon\,\partial V\partial V$ に等しく、$-12c=-\frac{1}{4\pi^2}$、すなわち $c=\frac{1}{48\pi^2}$ です。これで 1 が示されました。

(c) counterterm で消えないこと。 パリティ奇で $\delta_\theta$ により $\theta\,\partial A\partial A$ の項を生む局所 counterterm は、(a) と同じ理由で $\int\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}X_{abc}A^a_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma$ の形のものだけです（2 次の項は $\epsilon\,\partial A\partial A$ が全微分になるので寄与せず、4 次の項の変分は $A$ の 3 次）。$\delta A=\partial\theta$ による変分は、第 2 項で $(\mu,a)\leftrightarrow(\nu,b)$ と付け替えて

$$\int\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}(X_{abc}-X_{bac})\,\partial_\mu\theta^aA^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma=-\int\theta^a(X_{abc}-X_{bac})\,\epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\mu A^b_\nu\partial_\rho A^c_\sigma$$

です（$\epsilon\,\partial_\mu\partial_\rho=0$）。補題 4.3 から係数は $b,c$ について対称化した $\frac12(X_{abc}-X_{bac}+X_{acb}-X_{cab})$ で効き、これを $a,b,c$ について完全対称化すると $0$ です。よって counterterm は係数の完全対称部分 $c\,\mathcal A^{abc}$ を変えません。$\mathcal A^{abc}\ne0$ ならゲージ・カレントは保存しないので、命題 4.8［非可換ゲージ理論の量子化］ の測度の不変性が破れ、ゲージ変換で結ばれた配位を同一視する Faddeev–Popov の手続き（定理 3.1［非可換ゲージ理論の量子化］）の前提が成り立たなくなります。左右を区別した形は 命題 4.2 の 2 と 4 からです。

∎

注意 4.5（仮定 (R1)(R2) と整合・共変アノマリー）

(R1) は「正則化の違いは局所 counterterm だけで、アノマリーは局所的」という、くりこみ理論の標準的な事実（定理 5.10［くりこみ理論入門］ の後半と同じ種類の主張）を仮定として明示したもので、(R2) は藤川の正則化（ベクトル変換について不変）が ABJ アノマリーの値を与えることの延長です。1 の係数 $\frac{1}{48\pi^2}$ は作用の変分として得られる整合的なアノマリーで、可換な場合 $\partial J_{\mathrm L}=\frac{q^3}{96\pi^2}\epsilon FF$（電荷 $q$ の左巻き場 1 個）です。ゲージ共変に書いた共変なアノマリーでは係数が 3 倍になります（Bardeen 1969、Bardeen–Zumino 1984）。非可換の高次の項 $O(A^3)$ は Wess–Zumino の整合条件で最低次の項から決まります。逆に $\mathcal A=0$ なら、Adler–Bardeen の定理（注意 3.3）により高次でもアノマリーは現れません。

演習 7.3［非可換ゲージ理論の量子化］ で確かめたように、標準模型の 1 世代はこの条件をすべて満たします。$SU(2)$ の 2 重項は擬実表現なので、$SU(2)^3$ の摂動論的アノマリーは 命題 4.2 の 3 により自動的に $0$ です。ところが $SU(2)$ には、摂動論では見えない別の制約があります。

定理 4.6（Witten の SU(2) アノマリー）✓

$SU(2)$ ゲージ理論で、左巻き Weyl 2 重項の数が奇数なら、フェルミオンを積分した分配関数はゲージ変換の下で符号を変えうるので、ゲージ不変な量の期待値が定義できません。

証明（定理 4.6）

次の 2 つの事実を仮定として使います。(a) 4 次元球面から $SU(2)$ への写像のホモトピー類は $\pi_4(SU(2))=\mathbb Z_2$ で、恒等写像に連続変形できないゲージ変換 $U$ が存在する。(b) Euclid 空間で、背景 $A$ から $A^U$ までゲージ場を連続に動かすと、2 重項の Dirac 演算子 $i\not D$ の固有値のうち $0$ を横切るものの数（後述の縮退を 1 つと数える）は奇数である（5 次元の mod 2 指数定理）。

Weyl 2 重項 1 個のフェルミオン積分は、Dirac 2 重項の $\det(i\not D)$ の「平方根」です。2 重項は擬実表現なので、$i\not D$ の各固有値は 2 重に縮退し（$\sigma^2$ と電荷共役を組み合わせた反ユニタリな対称性が固有空間を保ち、その 2 乗が $-1$ になるため）、平方根は各縮退対から固有値を 1 つずつ掛けた積 $\mathrm{Pf}(A)=\prod'\lambda$ として、$A$ について連続に定義できます。$A$ を $A^U$ まで連続に動かすと、固有値の組全体はもとに戻りますが、(b) により奇数個の固有値が $0$ を横切って符号を変えるので、$\mathrm{Pf}(A^U)=-\mathrm{Pf}(A)$ です。ゲージ場の測度と作用は $U$ で不変で、$A\mapsto A^U$ は全単射なので

$$Z=\int\mathcal DA\,\mathrm{Pf}(A)e^{-S[A]}=\int\mathcal DA\,\mathrm{Pf}(A^U)e^{-S[A^U]}=-Z$$

となり $Z=0$ です。ゲージ不変な $\mathcal O$ についても同様に $\int\mathcal O\,\mathrm{Pf}\,e^{-S}=0$ で、期待値は $\frac00$ になります。2 重項が偶数個なら符号は $(-1)^{\text{偶数}}=1$ で、問題は起こりません。

∎

標準模型の 1 世代には $SU(2)$ の 2 重項が $Q_{\mathrm L}$ の 3 色と $L_{\mathrm L}$ の計 4 個あり、偶数なので Witten のアノマリーはありません（注意 6.6［非可換ゲージ理論の量子化］）。

5. インスタントンと θ 真空

この節の話を先に一言でいうと、ゲージ場の配位には、整数で数えられる「巻き付き」があり、それが異なる真空どうしを区別する、ということです。インスタントンはその間を結ぶ古典解で、$\theta$ はそれらの重ね合わせ方を決める定数です。

この節は Euclid 空間で書きます。計量は $\delta_{\mu\nu}$、$\epsilon_{1234}=1$、ヤン–ミルズ作用は $S=\frac14\int d^4x\,F^a_{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}$（$D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a$）、双対場を $\tilde F^a_{\mu\nu}=\frac12\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^a_{\rho\sigma}$ とします。Euclid の $\epsilon$ では 補題 2.1 の符号 $-$ が $+$ になり、$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}=2(\delta_{\rho\alpha}\delta_{\sigma\beta}-\delta_{\rho\beta}\delta_{\sigma\alpha})$ です（計量の行列式が $+1$ だからです）。

定義 5.1（位相的電荷）↗

作用が有限なゲージ場について

$$\nu=\frac{g^2}{32\pi^2}\int d^4x\,F^a_{\mu\nu}\tilde F^a_{\mu\nu}$$

を位相的電荷（Pontryagin 数）と呼びます。

補題 5.2（FF̃ は全微分）✓

$K_\mu=2\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\big(A^a_\nu\partial_\rho A^a_\sigma+\frac g3f^{abc}A^a_\nu A^b_\rho A^c_\sigma\big)$ と置くと $F^a_{\mu\nu}\tilde F^a_{\mu\nu}=\partial_\mu K_\mu$ です。

証明（補題 5.2）

基本表現（$\mathrm{tr}(t^at^b)=\frac12\delta^{ab}$）の行列 $A_\mu=A^a_\mu t^a$、$F_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu-ig[A_\mu,A_\nu]$ で計算します。$F^a\tilde F^a=\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})$ で、$\epsilon$ との縮約では $F_{\mu\nu}$ を $2(\partial_\mu A_\nu-igA_\mu A_\nu)$ に置き換えてよいので

$$F^a\tilde F^a=4\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}\big(\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma-2ig\,\partial_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma-g^2A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma\big)$$

です（交差項 2 つはトレースの巡回性と $\epsilon_{\rho\sigma\mu\nu}=\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ で等しくなります）。最後の項は、巡回置換 $\mathrm{tr}(A_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma)=\mathrm{tr}(A_\nu A_\rho A_\sigma A_\mu)$ と $\epsilon_{\nu\rho\sigma\mu}=-\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$ から $0$ です。一方

$$\partial_\mu\big[\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}(A_\nu\partial_\rho A_\sigma)\big]=\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}(\partial_\mu A_\nu\partial_\rho A_\sigma),\qquad\partial_\mu\big[\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}(A_\nu A_\rho A_\sigma)\big]=3\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}(\partial_\mu A_\nu A_\rho A_\sigma)$$

です（前者では $\partial_\mu\partial_\rho$ が対称なので 1 項が消え、後者では 3 項が巡回性と 3 文字の巡回置換の符号 $+1$ で等しくなります）。よって $F^a\tilde F^a=4\partial_\mu\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}\big(A_\nu\partial_\rho A_\sigma-\frac{2ig}3A_\nu A_\rho A_\sigma\big)$ です。成分で書くと $\mathrm{tr}(A_\nu\partial_\rho A_\sigma)=\frac12A^a_\nu\partial_\rho A^a_\sigma$、$\epsilon\,\mathrm{tr}(A_\nu A_\rho A_\sigma)=\epsilon\,A^a_\nu A^b_\rho A^c_\sigma\cdot\frac12\mathrm{tr}(t^a[t^b,t^c])=\frac i4f^{abc}\epsilon\,A^a_\nu A^b_\rho A^c_\sigma$ なので、括弧の中の 4 倍は $\frac12K_\mu$ の 4 倍、すなわち $K_\mu$ です。

∎

この補題により $\nu$ は無限遠の球面 $S^3$ 上の面積分 $\frac{g^2}{32\pi^2}\oint K_\mu dS_\mu$ で、作用が有限なら無限遠で $F\to0$、つまり $A$ は純ゲージ $A_\mu\to-\frac ig(\partial_\mu V)V^{-1}$ に近づきます。このとき面積分は写像 $V:S^3\to G$ の巻き付き数に等しく、整数です（$\pi_3(SU(N))\cong\mathbb Z$ で生成元は包含 $SU(2)\hookrightarrow SU(N)$ であること（定理 6.8［Hurewicz の定理と Freudenthal の懸垂定理］）と、$SU(2)$ の中では巻き付きの積分が写像度に等しいこと（例 5.5［ホモトピー群とファイブレーション］）から。被積分形式は閉形式なので、積分はホモトピー類だけで決まります。Coleman『Aspects of Symmetry』第 7 章も参照）。

定理 5.3（インスタントンの作用の下限）✓

作用が有限なゲージ場について $S\ge\frac{8\pi^2}{g^2}|\nu|$ が成り立ち、等号は $F^a_{\mu\nu}=\pm\tilde F^a_{\mu\nu}$（自己双対・反自己双対）のときに限ります。

証明（定理 5.3）

Euclid の $\epsilon$ の縮約から $\tilde F^a_{\mu\nu}\tilde F^a_{\mu\nu}=\frac14\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\epsilon_{\mu\nu\alpha\beta}F^a_{\rho\sigma}F^a_{\alpha\beta}=\frac12\big(F^a_{\rho\sigma}F^a_{\rho\sigma}-F^a_{\rho\sigma}F^a_{\sigma\rho}\big)=F^a_{\rho\sigma}F^a_{\rho\sigma}$ です。よって

$$0\le\frac14\int\big(F^a_{\mu\nu}\mp\tilde F^a_{\mu\nu}\big)^2=\frac14\int\big(2F^aF^a\mp2F^a\tilde F^a\big)=2S\mp\frac{16\pi^2}{g^2}\nu$$

で、$S\ge\pm\frac{8\pi^2}{g^2}\nu$ です。$\nu$ の符号に合わせて複号を選べば主張で、等号は被積分関数が恒等的に $0$ のときです。

∎

自己双対な配位は Bianchi 恒等式 $D_\mu\tilde F_{\mu\nu}=0$ から自動的に運動方程式 $D_\mu F_{\mu\nu}=0$ を満たし、与えられた位相的電荷の中で作用を最小にします。これをインスタントンと呼びます。

例 5.4（BPST インスタントン）

$G=SU(2)$ で、‘tHooft 記号 $\eta^a_{\mu\nu}$（$\eta^a_{ij}=\epsilon_{aij}$、$\eta^a_{i4}=-\eta^a_{4i}=\delta_{ai}$、$i,j=1,2,3$）を使って

$$A^a_\mu(x)=\frac2g\,\frac{\eta^a_{\mu\nu}x_\nu}{x^2+\rho^2}$$

と置くと（$\rho\gt0$ は大きさ）、直接の計算で $F^a_{\mu\nu}=-\frac4g\frac{\eta^a_{\mu\nu}\rho^2}{(x^2+\rho^2)^2}$ です。$\eta^a_{\mu\nu}$ は自己双対（$\frac12\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\eta^a_{\rho\sigma}=\eta^a_{\mu\nu}$）なので $F$ も自己双対です。$\eta^a_{\mu\nu}\eta^a_{\mu\nu}=12$ と $\int d^4x\frac{\rho^4}{(x^2+\rho^2)^4}=\pi^2\int_0^\infty\frac{u\,du}{(1+u)^4}=\frac{\pi^2}6$（$u=x^2/\rho^2$、$d^4x=\pi^2u\,du\,\rho^4$）から

$$\int F^aF^a=\frac{16}{g^2}\cdot12\cdot\frac{\pi^2}6=\frac{32\pi^2}{g^2},\qquad S=\frac{8\pi^2}{g^2},\qquad\nu=1$$

です（自己双対なので $F\tilde F=FF$）。作用は $\rho$ によらず、インスタントンには大きさのモジュライがあります。量子論ではこの配位の寄与が $e^{-8\pi^2/g^2}=e^{-2\pi/\alpha}$ に比例し、摂動論のどの次数にも現れない非摂動効果です。

時間成分を 0 に固定したゲージでの古典真空。巻き付き数 n の異なる真空はエネルギー障壁で隔てられ、インスタントン（ν=1）はその間のトンネル効果を表す。

命題 5.5（θ 真空）✓

時間成分を $A_0=0$ に固定したゲージで、無限遠で $1$ に近づく時間によらないゲージ変換のうち巻き付き数 $1$ のものを実現するユニタリ演算子を $\mathcal T$ とし、巻き付き数 $n$ の古典真空のまわりの状態 $|n\rangle$ が $\mathcal T|n\rangle=|n+1\rangle$ を満たすとします。$\mathcal T$ はハミルトニアンおよびゲージ不変な演算子 $\mathcal O$ と可換です。このとき

$$|\theta\rangle=\sum_{n\in\mathbb Z}e^{-in\theta}|n\rangle$$

は $\mathcal T|\theta\rangle=e^{i\theta}|\theta\rangle$ を満たし、$\theta\ne\theta'$ なら $\langle\theta'|\mathcal O|\theta\rangle=0$ です。さらに、巻き付き数 $m$ から $n$ への Euclid 時間 $\mathcal T_E$ の遷移振幅が、位相的電荷 $\nu=n-m$ の配位についての経路積分 $Z_\nu$ で与えられるとすると

$$\langle\theta'|e^{-H\mathcal T_E}|\theta\rangle=2\pi\delta(\theta-\theta')\sum_{\nu\in\mathbb Z}e^{i\nu\theta}Z_\nu=2\pi\delta(\theta-\theta')\int\mathcal DA\,e^{-S+i\theta\nu[A]}$$

です。

証明（命題 5.5）

$\mathcal T|\theta\rangle=\sum_ne^{-in\theta}|n+1\rangle=e^{i\theta}\sum_ne^{-i(n+1)\theta}|n+1\rangle=e^{i\theta}|\theta\rangle$ です。$\mathcal O$ が $\mathcal T$ と可換なら、$\mathcal T$ がユニタリであることから $\langle\theta'|\mathcal O|\theta\rangle=\langle\theta'|\mathcal T^{-1}\mathcal O\mathcal T|\theta\rangle=e^{i(\theta-\theta')}\langle\theta'|\mathcal O|\theta\rangle$ で、$\theta\ne\theta'$（$2\pi$ を法として）なら $0$ です。遷移振幅 $\langle n|e^{-H\mathcal T_E}|m\rangle$ は、$\mathcal T$ が $H$ と可換なので $n-m$ だけの関数 $Z_{n-m}$ です。よって

$$\langle\theta'|e^{-H\mathcal T_E}|\theta\rangle=\sum_{n,m}e^{in\theta'-im\theta}Z_{n-m}=\sum_me^{im(\theta'-\theta)}\sum_\nu e^{i\nu\theta'}Z_\nu$$

で、$\sum_me^{im(\theta'-\theta)}=2\pi\delta(\theta-\theta')$ です。最後の等式は $Z_\nu$ を位相的電荷 $\nu$ のセクターの経路積分として足し合わせたものです。

∎

$m$ から $n$ への遷移で $\nu=n-m$ となるのは、補題 5.2 により $\nu$ が $K_\mu$ の境界積分で、$A_0=0$ ゲージでは時刻 $\pm\frac{\mathcal T_E}2$ の面の寄与 $\frac{g^2}{32\pi^2}\int d^3x\,K_4$（Chern–Simons 数）の差になり、純ゲージではそれが巻き付き数に等しいからです。命題の結論は、θ 真空は作用に $i\theta\nu$ を加えることと同じだということです。Minkowski 空間では $\mathcal L\supset\theta\frac{g^2}{32\pi^2}F^a_{\mu\nu}\tilde F^{a\mu\nu}$ で、これは $P$ と $T$ を破ります。中性子の電気双極子モーメントの上限から QCD では $|\theta|\lesssim10^{-10}$ で、なぜこれほど小さいのかが強い CP 問題です。

系 5.6（アノマリーと零モードの指数）✓

Euclid 空間で、表現 $r$ の質量 $0$ の Dirac 場が位相的電荷 $\nu$ の背景に結合しているとします（Hermite な $\gamma_\mu$、$\gamma_5=\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4$）。$\not D$ の零モードのうちカイラリティ $\gamma_5=\pm1$ のものの数を $n_\pm$ とすると、定理 3.1 と同じ正則化で

$$n_+-n_-=-2C(r)\,\nu$$

です。基本表現（$C=\frac12$）では $n_+-n_-=-\nu$ です。

証明（系 5.6）

Euclid 空間で 定理 3.1 の証明の熱核の計算を繰り返します。$\not D$ は反 Hermite なので固有値は $i\lambda_n$（$\lambda_n$ 実）で、正則化は $e^{\not D^2/M^2}$、$\not D^2=D^2-\frac{ig}2\gamma_\mu\gamma_\nu F_{\mu\nu}$ です。Gauss 積分は $\int\frac{d^4k}{(2\pi)^4}e^{-k^2}=\frac1{16\pi^2}$、$\mathrm{tr}(\gamma_5\gamma_\mu\gamma_\nu\gamma_\rho\gamma_\sigma)=4\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}$（$\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4=\gamma_5$、$\gamma_5^2=1$ から）なので

$$\mathcal A_E(x)=\frac{1}{16\pi^2}\cdot\frac12\Big(-\frac{ig}{2}\Big)^2\cdot4\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\mathrm{tr}_r(F_{\mu\nu}F_{\rho\sigma})=-\frac{g^2C(r)}{32\pi^2}\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}F^a_{\mu\nu}F^a_{\rho\sigma}=-\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}F^a\tilde F^a$$

です。一方、固有関数 $\phi_n$ で書くと $\int d^4x\,\mathcal A_E=\lim_M\sum_ne^{-\lambda_n^2/M^2}\int\phi_n^\dagger\gamma_5\phi_n$ です。$\gamma_5$ は $\not D$ と反可換なので、$\lambda_n\ne0$ なら $\gamma_5\phi_n$ は固有値 $-i\lambda_n$ の固有関数で $\phi_n$ と直交し、寄与は $0$ です。零モードの空間は $\gamma_5$ で保たれるので $\gamma_5$ の固有関数で基底をとれ、寄与は $n_+-n_-$ で $M$ によりません。よって $n_+-n_-=-\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}\int F^a\tilde F^a=-2C(r)\nu$ です。

∎

これは Atiyah–Singer の指数定理の、この演算子についての場合です。インスタントンの背景では質量のないクォークに零モードがあるので、フェルミオンの積分 $\det\not D$ は $0$ になり、零モードを吸収するフェルミオン場の挿入（‘tHooft の有効頂点）がなければ寄与しません。この頂点は軸性 $U(1)$ を $2n_f$ 単位だけ破り、$\eta'$ が他の擬スカラー中間子より重いことを説明します。また、クォークに質量 $0$ のものが 1 つでもあれば、軸性変換で $\theta$ を消せる（定理 3.1 のヤコビアンが $\theta$ をずらす）ので、強い CP 問題は生じません。

補題 5.7（ベクトル的な理論のフェルミオン行列式の正値性）✓

Euclid 空間で、左右が同じ表現に属する（ベクトル的な）理論の Dirac 演算子について、$m\gt0$ なら $\det(\not D+m)\gt0$ です（有限次元に正則化した意味で）。

証明（補題 5.7）

$\not D$ は反 Hermite で、固有値 $i\lambda$ の固有関数 $\phi$ について $\gamma_5\phi$ は固有値 $-i\lambda$ の固有関数です（系 5.6 の証明）。よって非零の固有値は $\pm i\lambda$（$\lambda\gt0$）の対で現れ、$\det(\not D+m)=m^{n_0}\prod_{\lambda\gt0}(m+i\lambda)(m-i\lambda)=m^{n_0}\prod_{\lambda\gt0}(m^2+\lambda^2)\gt0$ です（$n_0$ は零モードの数）。

∎

注意 5.8（Vafa–Witten の定理）

補題 5.7 により、$\theta=0$ のベクトル的なゲージ理論（QCD）では、フェルミオンを積分した Euclid の経路積分の重みは正です。Vafa と Witten（1984）はこれを使って、$\theta=0$ の QCD ではパリティは自発的に破れないことを主張しました。筋道は、ゲージ場で書いたパリティ奇の局所演算子 $X$ は Euclid 空間で純虚数になる（$\epsilon$ を含むので Wick 回転で $i$ が出る）ので、源 $\lambda\int X$ を加えた分配関数は $|Z(\lambda)|\le Z(0)$ を満たし、真空のエネルギーが $\lambda=0$ で最小になるので $\langle X\rangle=0$、というものです。厳密な証明には自由エネルギーの微分可能性などの追加の仮定が要るので、ここでは主張として述べます。同じ正値性から、ベクトル的なフレーバー対称性（アイソスピンなど）も自発的に破れないことが示されています。

6. 演習

演習 6.1標準

反可換な Dirac 場について

$$\big(\bar\psi_1\gamma^\mu P_R\psi_2\big)\big(\bar\psi_3\gamma_\mu P_L\psi_4\big)=-2\big(\bar\psi_1P_L\psi_4\big)\big(\bar\psi_3P_R\psi_2\big)$$

を示してください。$\sigma^\mu=(\mathbf 1,\boldsymbol\sigma)$ について $(\sigma^\mu)_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}=2\delta_{ad}\delta_{cb}$ を使ってかまいません（補題 2.3 の証明と同じ方法で示せます）。

解答

ワイル表示で $\gamma^0\gamma^\mu P_R=\mathrm{diag}(0,\sigma^\mu)$ なので $\bar\psi_1\gamma^\mu P_R\psi_2=\psi^\dagger_{1R}\sigma^\mu\psi_{2R}$、また $\gamma^0P_L$ は $\psi_L$ を下段に移すので $\bar\psi_1P_L\psi_4=\psi_{1R}^\dagger\psi_{4L}$、$\bar\psi_3P_R\psi_2=\psi_{3L}^\dagger\psi_{2R}$ です。与えられた恒等式（$\sigma^\mu_{ab}(\bar\sigma_\mu)_{cd}=\delta_{ab}\delta_{cd}+\sum_i\sigma^i_{ab}\sigma^i_{cd}=2\delta_{ad}\delta_{cb}$）から、左辺は $2\psi^*_{1R,a}\psi_{2R,b}\psi^*_{3L,b}\psi_{4L,a}$ です。反可換な因子を $\psi^*_{1R,a}\psi_{4L,a}\psi^*_{3L,b}\psi_{2R,b}$ の順に並べ替えると、定理 2.4 の証明と同じく符号 $-1$ が出るので、$-2(\psi^\dagger_{1R}\psi_{4L})(\psi^\dagger_{3L}\psi_{2R})$ で右辺に一致します。

演習 6.2標準

$SU(N)$ の基本表現 $F$ と反対称 2 階テンソル表現 $\Lambda^2F$ について、$\mathcal A(\Lambda^2F)=(N-4)\mathcal A(F)$ を示し、$SU(5)$ の大統一理論で 1 世代の左巻き Weyl 場を $\bar{\mathbf 5}\oplus\mathbf{10}$ にまとめるとゲージ・アノマリーが相殺することを確かめてください。

解答

$\mathcal A^{abc}$ は完全対称な 3 線形形式なので、Hermite な $T=x_at^a$ についての 3 次式 $\mathrm{tr}_R(T^3)=\frac12x_ax_bx_c\mathcal A^{abc}$ で決まります（多項式の極化）。$T$ はユニタリ行列で対角化でき、トレースは不変なので、$F$ で $T=\mathrm{diag}(t_1,\dots,t_N)$（$\sum t_i=0$）としてよく、$\Lambda^2F$ での固有値は $t_i+t_j$（$i\lt j$）です。

$$\sum_{i\lt j}(t_i+t_j)^3=\frac12\Big[\sum_{i,j}(t_i+t_j)^3-\sum_i(2t_i)^3\Big]=\frac12\Big[2N\sum_it_i^3+6\sum_it_i^2\sum_jt_j-8\sum_it_i^3\Big]=(N-4)\sum_it_i^3$$

（$\sum_jt_j=0$）なので $\mathcal A(\Lambda^2F)=(N-4)\mathcal A(F)$ です。$N=5$ では $\mathcal A(\mathbf{10})=\mathcal A(\mathbf 5)$、命題 4.2 の 2 から $\mathcal A(\bar{\mathbf 5})=-\mathcal A(\mathbf 5)$ なので、和は $0$ です。

演習 6.3易

電弱理論の $SU(2)$ のインスタントンは、系 5.6 により各左巻き 2 重項に零モードを 1 つずつ作り、バリオン数とレプトン数をそれぞれ $3$ 単位（世代数）だけ変える過程を引き起こします（‘tHooft 1976）。$\alpha_W=g^2/4\pi\approx1/30$ として、その確率の抑制因子 $e^{-2\cdot8\pi^2/g^2}$ を 10 のべきで評価してください。

解答

$\frac{8\pi^2}{g^2}=\frac{2\pi}{\alpha_W}\approx2\pi\times30=188.5$ で、振幅の 2 乗なので $e^{-377}\approx10^{-164}$ です。真空中のこの過程は観測にかからないほど稀です（宇宙初期の高温ではスファレロン過程として障壁を越えられ、重要になります）。

参考文献

• K. Fujikawa, “Path-integral measure for gauge-invariant fermion theories”, Physical Review Letters 42 (1979), 1195. K. Fujikawa, H. Suzuki『Path Integrals and Quantum Anomalies』Oxford University Press、2004。
• S. L. Adler, “Axial-vector vertex in spinor electrodynamics”, Physical Review 177 (1969), 2426. J. S. Bell, R. Jackiw, “A PCAC puzzle: π⁰→γγ in the σ-model”, Il Nuovo Cimento A 60 (1969), 47. S. L. Adler, W. A. Bardeen, “Absence of higher-order corrections in the anomalous axial-vector divergence equation”, Physical Review 182 (1969), 1517.
• M. E. Peskin, D. V. Schroeder『An Introduction to Quantum Field Theory』Addison-Wesley、1995 — 第 19 章（§19.2 藤川の方法、§19.4 $\pi^0\to\gamma\gamma$）、第 20 章 §20.2。
• E. Witten, “An SU(2) anomaly”, Physics Letters B 117 (1982), 324. C. Vafa, E. Witten, “Parity conservation in quantum chromodynamics”, Physical Review Letters 53 (1984), 535.
• A. A. Belavin, A. M. Polyakov, A. S. Schwartz, Yu. S. Tyupkin, “Pseudoparticle solutions of the Yang–Mills equations”, Physics Letters B 59 (1975), 85. G. ‘t Hooft, “Symmetry breaking through Bell–Jackiw anomalies”, Physical Review Letters 37 (1976), 8.
• S. Coleman『Aspects of Symmetry』Cambridge University Press、1985 — 第 7 章 “The uses of instantons”。R. A. Bertlmann『Anomalies in Quantum Field Theory』Oxford University Press、1996。