ABJ アノマリー（藤川の方法による導出）

質量 $m$ の Dirac 場が、ゲージ群の表現 $r$ で $D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a$ によりゲージ場（動的でも外場でもよい）に結合しているとします。フェルミオンの経路積分の測度を、$\not D$ の固有モードについてゲージ不変な減衰因子 $e^{(i\not D)^2/M^2}$（$M\to\infty$）で正則化すると、軸性カレント $j^{\mu5}=\bar\psi\gamma^\mu\gamma^5\psi$ は相関関数の中で

を満たします（$F_{\mu\nu}=F^a_{\mu\nu}t^a$）。QED（$D_\mu=\partial_\mu+ieA_\mu$）では $gt\to-e$ と置き換えて $\partial_\mu j^{\mu5}=2im\bar\psi\gamma^5\psi-\frac{e^2}{16\pi^2}\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}F_{\alpha\beta}F_{\mu\nu}$ で、これが 定理 6.2［非可換ゲージ理論の量子化］ です。