次元正則化とくりこみ群：MS スキーム・Callan–Symanzik 方程式・非可換ゲージ理論の β 関数

0. この記事の要点

場の量子論の計算では、足し上げると無限大になる量が現れ、その無限大を整理する手続きが必要です。この記事では、空間の次元をほんの少しだけ 4 からずらして無限大を扱う方法を使い、「測るスケールを変えると力の強さがどう変わるか」を計算する道具を作ります。読み終えると、素粒子の力の強さが高エネルギーで強まるか弱まるかを、公式から読み取れるようになります。

• 次元正則化では、質量も外線運動量も含まない積分（スケールのない積分）は $0$ です。1 ループの紫外発散の極 $\frac1\varepsilon$ の係数は、質量と外線運動量の多項式になります。このため、極だけを引く MS スキーム（とその変形 $\overline{\mathrm{MS}}$）では、くりこみ定数が質量によりません。
• MS で $\lambda_0=\mu^{\rho\varepsilon}\big(\lambda+\sum_{k\ge1}a_k(\lambda)/\varepsilon^k\big)$ と書くと、β 関数は 1 位の極の係数だけで決まり、$\beta(\lambda)=-\rho\varepsilon\lambda+\rho\big(\lambda\frac{d}{d\lambda}-1\big)a_1(\lambda)$ です。$\phi^4$ 理論では $a_1=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ から $\beta=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ が出ます。
• Callan–Symanzik 方程式 $\big[\mu\partial_\mu+\beta\partial_\lambda+\gamma_m m\partial_m-n\gamma\big]G^{(n)}=0$ は特性曲線の方法で解け、運動量を $e^t$ 倍した相関関数は、走る結合定数 $\bar\lambda(t)$ で書いた相関関数に等しくなります。β 関数の最初の係数が正なら $\bar\lambda$ は有限の $t$ で発散し（Landau 極）、負なら $0$ に向かいます（漸近的自由）。β 関数の最初の 2 係数は結合定数の取り替えで変わりません。
• 背景場法では 1 ループの有効作用が背景場のゲージ変換で不変なので、結合のくりこみは $F^a_{\mu\nu}F^a_{\mu\nu}$ の係数 1 つで決まります。演算子 $-D^2+gF^a_{\rho\sigma}t^a\mathcal J^{\rho\sigma}$ の行列式の極は「軌道部分 $\frac{d(j)}3$」と「スピン部分 $-4C(j)$」に分かれ、足し合わせると $\beta(g)=-\frac{g^3}{16\pi^2}\big[\frac{11}3C_G-\frac43n_fC(r)-\frac13n_sC(r)\big]$ が出ます。

この記事で使う事前知識

• 次元正則化: 時空の次元を $d=4-\varepsilon$ とずらして発散を $\frac1\varepsilon$ の極として取り出す方法。→ 次元正則化
• 表面的発散次数: ループ積分の被積分関数のべきから、紫外発散の強さを見積もった数。→ 表面的発散次数
• 随伴表現: ゲージ群が自分自身の Lie 代数に作用する表現で、ゲージ場とゴーストが属する。→ 随伴表現
• ヤン–ミルズ・ラグランジアン: 非可換ゲージ場の運動項を与えるラグランジアン。→ ヤン–ミルズ・ラグランジアン
• 分配関数: 経路積分で、重み $e^{-S}$ を全経路について足し上げた量。→ 分配関数

1. 動機：カットオフを使わずに走る結合を定義する

くりこみ理論入門では、運動量カットオフ $\Lambda$ で正則化し、零運動量の条件でくりこみました。この方法は直観的ですが、実際の計算には 3 つの不便があります。第 1 に、カットオフは積分変数の平行移動で不変でないので、ゲージ不変性を壊します（例 4.3［QED の 1 ループ］）。第 2 に、くりこみ条件を質量殻や零運動量で課すと、くりこみ定数が質量に依存し、β 関数が結合と質量の比の複雑な関数になります。第 3 に、非可換ゲージ理論では零運動量が赤外発散するので、そもそも条件を課せません。

QED の 1 ループで導入した次元正則化は、この 3 つを同時に解決します。平行移動不変性を保ち、紫外発散を $\frac1\varepsilon$ の極として分離し、極の係数が質量の多項式になるので、「極だけを引く」という質量によらない処方（MS スキーム）が定義できます。そのとき β 関数は結合定数だけの関数になり、くりこみ群方程式は常微分方程式として解けます。

本章ではまずこの処方を一般的に定式化し、β 関数と異常次元を極の係数から読む公式を証明します。次に Callan–Symanzik 方程式を解いて、走る結合定数が「大きな対数の和」を表すことを示します。最後に、背景場法で非可換ゲージ理論の 1 ループの β 関数を計算し、非可換ゲージ理論の量子化で主張だけを述べた 定理 5.1［非可換ゲージ理論の量子化］ を証明します。

2. 次元正則化の 2 つの性質

ここでは 定義 2.2［QED の 1 ループ］ の定義と 定理 2.5［QED の 1 ループ］ の基本積分公式を使います。次元を $d=4-\varepsilon$ と書き、Euclid 空間の運動量積分を $\int_\ell\equiv\int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}$ と略記します。

次の補題は、質量も外線運動量も含まない積分（スケールのない積分）が $0$ になることを示します。以降の計算で、こうした積分を落としてよい根拠になります。紫外と赤外に分けるのは、収束する領域がそれぞれ別の $d$ にあり、各部分を解析接続しないと値が定まらないからです。

補題 2.1（スケールのない積分は 0）✓

$a$ を実数とし、$d$ 次元の積分 $\int_\ell(\ell^2)^{-a}$ を、紫外部分 $|\ell|\gt R$ と赤外部分 $|\ell|\lt R$ に分け、それぞれを収束する $d$ の領域から解析接続して足したものと定めます。このとき値は $R$ によらず $0$ です。

証明（補題 2.1）

極座標で $\int_\ell f(\ell^2)=\frac{|S^{d-1}|}{(2\pi)^d}\int_0^\infty r^{d-1}f(r^2)\,dr$ です（$|S^{d-1}|=2\pi^{d/2}/\Gamma(d/2)$ は 定理 2.5［QED の 1 ループ］ の証明で求めたもの）。赤外部分 $\int_0^Rr^{d-1-2a}dr$ は $d\gt2a$ で収束して $\frac{R^{d-2a}}{d-2a}$、紫外部分 $\int_R^\infty r^{d-1-2a}dr$ は $d\lt2a$ で収束して $-\frac{R^{d-2a}}{d-2a}$ です。どちらも $d$ の有理型関数 $\pm\frac{R^{d-2a}}{d-2a}$ に一意に解析接続され、和は恒等的に $0$ です。

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$a=2$、$d=4-\varepsilon$ では、紫外部分は $\frac1{16\pi^2}\frac{2}{\varepsilon}$ の極、赤外部分は $-\frac1{16\pi^2}\frac2\varepsilon$ の極をもち（$|S^3|/(2\pi)^4=\frac{2}{16\pi^2}$）、互いに打ち消し合っています。つまり「$0$」は紫外発散と赤外発散が相殺した結果です。質量のない理論でくりこみ定数を読むときは、赤外発散を質量や外線運動量で別に正則化してから紫外の極だけを拾う必要があります（演習 6.1）。

補題 2.2（1 ループの極は多項式）✓

内線の質量を $m_i$、外線運動量を $p_j$ とする 1 ループ積分を、ファインマン・パラメータと平行移動で $\int_\ell\frac{\ell^{2k}}{(\ell^2+\Delta)^n}$（$\Delta$ は $x$、$m_i^2$、$p_j\cdot p_l$ の 1 次式の和）に帰着させます。$d=4-\varepsilon$ で $\varepsilon=0$ に極がある場合、その留数は $m_i^2$ と $p_j\cdot p_l$ の多項式で、次数は表面的発散次数の半分 $k+2-n$ です。

証明（補題 2.2）

定理 2.5［QED の 1 ループ］ の第 2 式を繰り返し使うと（$\ell^2=(\ell^2+\Delta)-\Delta$ と書いて次数を下げる）、$\int_\ell\frac{\ell^{2k}}{(\ell^2+\Delta)^n}$ は $\frac{\Gamma(n-k-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\Delta^{\frac d2+k-n}$ に $d$ の有理関数を掛けたものの和になります。$\Gamma(z)$ の極は $z=0,-1,-2,\dots$ にあるので、$d\to4$ で極が出るのは $N\equiv k+2-n\ge0$ のときで、留数は $\Delta^{N}$ に比例します（$\Delta^{-\varepsilon/2}=1+O(\varepsilon)$ は留数に効きません）。$\Delta^N$ は $x$、$m_i^2$、$p_j\cdot p_l$ の多項式で、$x$ について積分しても多項式のままです。

∎

この補題が、次の処方を可能にします。極の係数が質量の多項式なので、それを打ち消す counterterm はラグランジアンの局所的な項（$\phi^2$、$(\partial\phi)^2$、$\phi^4$ など）の形をとり、その係数は「無次元の結合」と「質量の正のべき」の多項式です。多ループでは部分図の発散を先に引いたあとで同じことが成り立ちます（定理 5.10［くりこみ理論入門］ の森公式の次元正則化版。本章では 1 ループの計算にしか使いません）。

定義 2.3（MS スキームと MS-bar スキーム）↗

$d=4-\varepsilon$ 次元の理論で、無次元の結合 $\lambda$ をもつ相互作用を考えます。裸の結合 $\lambda_0$（質量次元 $\rho\varepsilon$）、裸の質量 $m_0$、裸の場 $\phi_0$ を

$$\lambda_0=\mu^{\rho\varepsilon}Z_\lambda\lambda,\qquad m_0^2=Z_mm^2,\qquad \phi_0=Z_\phi^{1/2}\phi$$

と書き、各くりこみ定数を $Z=1+\sum_{k\ge1}z_k(\lambda)\varepsilon^{-k}$（$z_k$ は $\varepsilon$ にも質量にもよらない）の形に限って、くりこまれた相関関数が $\varepsilon\to0$ で有限になるように定める処方を最小引き算（MS）スキームと呼びます。$\mu$ は任意の質量スケール（くりこみ点）です。$\mu$ を $\bar\mu^2=4\pi e^{-\gamma_E}\mu^2$ に置き換えて同じことをする処方を $\overline{\mathrm{MS}}$ スキームと呼びます。

$\phi^4$ 理論では $\lambda_0$ の次元は $4-d=\varepsilon$ なので $\rho=1$、ゲージ理論の $g_0$ の次元は $\varepsilon/2$ なので $\rho=\frac12$ です（定義 2.2［QED の 1 ループ］ の $e\mapsto e\mu^{\varepsilon/2}$）。1 ループの積分は常に $\frac2\varepsilon-\gamma_E+\ln4\pi$ の組で現れる（定理 2.5［QED の 1 ループ］ のあとの展開）ので、$\overline{\mathrm{MS}}$ は「$\frac2\varepsilon-\gamma_E+\ln4\pi$ をまとめて引く」処方です。$\mu$ の定数倍の違いなので、以下の β 関数・異常次元の公式は両スキームで同じです。

3. MS スキームの β 関数と異常次元

定義 6.1［くりこみ理論入門］ のとおり、β 関数と異常次元は裸の量を固定して $\mu$ で微分したもの

$$\beta=\mu\frac{d\lambda}{d\mu},\qquad\gamma=\frac12\mu\frac{d\ln Z_\phi}{d\mu},\qquad\gamma_m=\frac{\mu}{m}\frac{dm}{d\mu}$$

です。MS では、これらが極の係数から代数的に決まります。

次の定理のねらいは、「裸の結合は $\mu$ によらない」という 1 つの条件だけから、β 関数を 1 位の極の係数に結びつけることです。証明では、$\varepsilon$ のべきごとに両辺の係数を比べ、$\lambda$ の次数で帰納法を回します。仮定の「$k$ 次以上から始まる」は、$k$ 位の極が $k$ ループ以上で初めて現れることを言い換えたものです。

定理 3.1（β 関数・異常次元と 1 位の極）✓

定義 2.3 の MS スキームで、$\lambda$ の形式的べき級数として

$$\mu^{-\rho\varepsilon}\lambda_0=\lambda+\sum_{k\ge1}\frac{a_k(\lambda)}{\varepsilon^k},\qquad \ln Z_\phi=\sum_{k\ge1}\frac{\zeta_k(\lambda)}{\varepsilon^k},\qquad \ln Z_m=\sum_{k\ge1}\frac{\eta_k(\lambda)}{\varepsilon^k}$$

と書き、$a_k'$、$\zeta_k$、$\eta_k$ は $\lambda$ の $k$ 次以上から始まるとします（$k$ 位の極は $k$ ループ以上で初めて現れるので、$\phi^4$ 理論でもゲージ結合でも成り立ちます）。β 関数が $\varepsilon=0$ で正則（$\varepsilon$ のべき級数）であると仮定すると

$$\beta(\lambda)=-\rho\varepsilon\lambda+\rho\Big(\lambda\frac{d}{d\lambda}-1\Big)a_1(\lambda),\qquad \gamma(\lambda)=-\frac\rho2\lambda\frac{d\zeta_1}{d\lambda},\qquad \gamma_m(\lambda)=\frac\rho2\lambda\frac{d\eta_1}{d\lambda}$$

で、$\varepsilon\to0$ の β 関数、$\gamma$、$\gamma_m$ はいずれも $\lambda$ だけの関数です（質量によりません）。

証明（定理 3.1）

$\lambda_0$ は $\mu$ によらないので、$\mu\frac{d}{d\mu}$ を $\mu^{-\rho\varepsilon}\lambda_0$ に作用させると $-\rho\varepsilon\,\mu^{-\rho\varepsilon}\lambda_0$ です。一方、右辺の微分は連鎖律で $\beta\cdot\big(1+\sum_ka_k'/\varepsilon^k\big)$ です。よって

$$-\rho\varepsilon\Big(\lambda+\sum_{k\ge1}\frac{a_k}{\varepsilon^k}\Big)=\beta\Big(1+\sum_{k\ge1}\frac{a_k'}{\varepsilon^k}\Big)$$

です。$\beta=\sum_{j\ge0}\beta_j(\lambda)\varepsilon^j$ と展開し、$\varepsilon^j$（$j\ge2$）の係数を比べると $\beta_j=-\sum_{k\ge1}\beta_{j+k}a_k'$ です。$a_k'=O(\lambda^k)$ なので、右辺の $\lambda^n$ の係数には $\beta_{j+k}$ の $\lambda^{n-k}$ 以下の係数しか現れません。$\lambda$ の次数についての帰納法で、すべての $j\ge2$ について $\beta_j=0$ です。次に $\varepsilon^1$ の係数から $\beta_1=-\rho\lambda$、$\varepsilon^0$ の係数から $-\rho a_1=\beta_0+\beta_1a_1'$、すなわち $\beta_0=\rho(\lambda a_1'-a_1)$ を得ます。

$\gamma$ については、$\ln Z_\phi$ が $\mu$ に $\lambda$ を通してだけ依存するので

$$2\gamma=\beta\frac{d\ln Z_\phi}{d\lambda}=\big(-\rho\varepsilon\lambda+\beta_0\big)\sum_{k\ge1}\frac{\zeta_k'}{\varepsilon^k}$$

です。左辺は有限なので、右辺の $\varepsilon^0$ の項 $-\rho\lambda\zeta_1'$ が $2\gamma$ に等しく、極の項は打ち消し合わねばなりません（$\zeta_{k+1}$ を $\zeta_k$ から決める関係になります）。$\gamma_m$ も同様で、$m_0$ が $\mu$ によらないことから $0=\mu\frac{d}{d\mu}\ln m_0^2=2\gamma_m+\beta\frac{d\ln Z_m}{d\lambda}$、その $\varepsilon^0$ の項から $2\gamma_m=\rho\lambda\eta_1'$ です。$a_k,\zeta_k,\eta_k$ は MS の定義により質量によらないので、結果も質量によりません。

∎

この定理の要点は 2 つです。1 つは、β 関数を知るには 1 位の極だけ計算すればよいことです。高次の極 $a_2,a_3,\dots$ は、証明中の $\varepsilon^{-k}$ の係数の関係 $\rho a_{k+1}=\rho\lambda a_{k+1}'-\beta_0a_k'$（‘t Hooft の極の方程式）によって $a_1$ から決まってしまいます。もう 1 つは、β 関数が質量によらないことで、これが 定理 6.2［くりこみ理論入門］ の仮定「質量に依存しないくりこみスキーム」を満たす具体的な処方になっています。

例 3.2（φ⁴ 理論の MS くりこみ（1 ループ））

Euclid 作用 $\int\big[\frac12(\partial\phi_0)^2+\frac12m_0^2\phi_0^2+\frac{\lambda_0}{4!}\phi_0^4\big]$ を考えます（$\rho=1$）。

4 点関数。 命題 3.5［くりこみ理論入門］ の図の数え方はそのままで、積分だけを次元正則化に替えると $\Gamma^{(4)}=\lambda_0-\frac{\lambda_0^2}2\big[B_d(s)+B_d(t)+B_d(u)\big]$ です。ここで 補題 2.1［QED の 1 ループ］ と 定理 2.5［QED の 1 ループ］ から

$$B_d(q^2)=\int_\ell\frac{1}{(\ell^2+m^2)((\ell+q)^2+m^2)}=\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dx\,\Delta^{\frac d2-2}=\frac1{16\pi^2}\Big[\frac2\varepsilon-\gamma_E+\ln4\pi-\int_0^1dx\ln\Delta\Big]+O(\varepsilon)$$

（$\Delta=m^2+x(1-x)q^2$）です。極の部分は $-\frac{\lambda_0^2}2\cdot3\cdot\frac{2}{16\pi^2\varepsilon}=-\frac{3\lambda_0^2}{16\pi^2\varepsilon}$ で、外線運動量にも質量にもよりません（補題 2.2 で $N=0$）。$\mu^{-\varepsilon}\lambda_0=\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2\varepsilon}+O(\lambda^3)$ と選べば打ち消せるので、$a_1=\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$ です。定理 3.1 から

$$\beta(\lambda)=-\varepsilon\lambda+\Big(\lambda\frac{d}{d\lambda}-1\Big)\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}=-\varepsilon\lambda+\frac{3\lambda^2}{16\pi^2}$$

で、$\varepsilon\to0$ で 命題 6.3［くりこみ理論入門］ と一致します。

2 点関数。 1 ループの自己エネルギーはタドポール $\frac{\lambda_0}2\int_\ell\frac{1}{\ell^2+m^2}=\frac{\lambda_0}{2}\frac{\Gamma(1-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}m^{d-2}$ で、$\Gamma(1-\frac d2)=\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{1-\frac d2}=-\frac2\varepsilon+O(1)$ より極は $-\frac{\lambda m^2}{16\pi^2\varepsilon}$ です。外線運動量によらないので $Z_\phi=1+O(\lambda^2)$、つまり $\zeta_1=O(\lambda^2)$ で $\gamma=O(\lambda^2)$ です。質量項 $m_0^2+(\text{極})$ が有限になるには $m_0^2=m^2\big(1+\frac{\lambda}{16\pi^2\varepsilon}\big)$、すなわち $\eta_1=\frac{\lambda}{16\pi^2}$ で、$\gamma_m=\frac12\lambda\eta_1'=\frac{\lambda}{32\pi^2}$ です。カットオフでは $\Lambda^2$ に比例した 2 次発散が出ましたが（例 3.2［くりこみ理論入門］）、次元正則化ではそれが 補題 2.1 と同じ理由で見えず、極は $m^2$ に比例します。

例 3.3（QED の β 関数を公式から読む）

定理 5.2［QED の 1 ループ］ の証明では $e_0=\mu^{\varepsilon/2}e\big(1+\frac{e^2}{12\pi^2\varepsilon}\big)$ を得ました。$\rho=\frac12$、$a_1=\frac{e^3}{12\pi^2}$ を 定理 3.1 に入れると $\beta_0=\frac12(3a_1-a_1)=a_1=\frac{e^3}{12\pi^2}$ で、同じ結果です。

4. Callan–Symanzik 方程式とその解

定理 4.1（Callan–Symanzik 方程式（MS 版））✓

MS スキームでくりこんだ $n$ 点関数（連結グリーン関数、または 1PI 関数）$G^{(n)}(p_i;\lambda,m,\mu)$ を、裸の $n$ 点関数と $G^{(n)}=Z_\phi^{\mp n/2}G^{(n)}_0$ で結びます（連結グリーン関数は $-$、1PI 関数は $+$）。このとき

$$\Big[\mu\frac{\partial}{\partial\mu}+\beta(\lambda)\frac{\partial}{\partial\lambda}+\gamma_m(\lambda)\,m\frac{\partial}{\partial m}\pm n\gamma(\lambda)\Big]G^{(n)}=0$$

が成り立ちます（連結グリーン関数は $+n\gamma$、1PI 関数は $-n\gamma$）。$\beta,\gamma,\gamma_m$ は 定理 3.1 の $\lambda$ だけの関数です。

証明（定理 4.1）

1PI 関数の場合は 定理 6.2［くりこみ理論入門］ そのもので、その仮定（$\beta,\gamma,\gamma_m$ が $\lambda$ だけの関数）は 定理 3.1 で確かめました。連結グリーン関数では $G^{(n)}_0=\langle\phi_0\cdots\phi_0\rangle=Z_\phi^{n/2}G^{(n)}$ なので、$\mu\frac{d}{d\mu}G_0^{(n)}=0$ に積の微分を適用すると $Z_\phi^{n/2}\big[n\gamma+\mu\frac{d}{d\mu}\big]G^{(n)}=0$ で、$\mu\frac{d}{d\mu}=\mu\partial_\mu+\beta\partial_\lambda+\gamma_mm\partial_m$ から主張を得ます。

∎

Callan と Symanzik がもとの論文で導いたのは、質量について微分する形の方程式でした。MS のような質量によらないスキームでは、上の形が標準的で、本章でもこれを Callan–Symanzik 方程式と呼びます（Peskin–Schroeder 第 12 章と同じ用語法です）。

この方程式の解き方を見るために、まず質量を無視できる場合（すべての運動量不変量が $m^2$ よりずっと大きい場合）を考えます。

次の定理の方針は、$\mu$ を動かしても方程式の左辺が変わらないような「経路」（特性曲線）を結合定数の空間に見つけ、その経路に沿って相関関数を比べることです。証明に出てくる関数 $F(s)$ は、その経路に沿った相関関数に因子を掛けたもので、微分すると方程式の左辺そのものが出るので $0$ になります。

定義 4.2（走る結合定数）↗

β 関数 $\beta(\lambda)$ に対し、初期値問題

$$\frac{d\bar\lambda(t)}{dt}=\beta\big(\bar\lambda(t)\big),\qquad\bar\lambda(0)=\lambda$$

の解 $\bar\lambda(t;\lambda)$ を走る結合定数と呼びます。$t=\ln(Q/\mu)$ と読むと、$\bar\lambda$ はスケール $Q$ での有効な結合です。

定理 4.3（Callan–Symanzik 方程式の解）✓

質量のない理論で、連結グリーン関数 $G(p_i;\lambda,\mu)$（運動量空間で質量次元 $D$）が $\big[\mu\partial_\mu+\beta\partial_\lambda+n\gamma\big]G=0$ を満たすとします。このとき任意の実数 $t$ について、$\bar\lambda$ が $[0,t]$ で存在する限り

$$G\big(e^tp_i;\lambda,\mu\big)=e^{Dt}\exp\Big(n\int_0^t\gamma\big(\bar\lambda(s)\big)ds\Big)\,G\big(p_i;\bar\lambda(t),\mu\big)$$

が成り立ちます。

証明（定理 4.3）

次元解析。 $G$ の変数で次元をもつのは $p_i$ と $\mu$ だけなので、$G(e^tp_i;\lambda,\mu)=e^{Dt}G(p_i;\lambda,e^{-t}\mu)$ です（両辺の運動量と $\mu$ を同時に $e^{-t}$ 倍すると、$G$ は $e^{-Dt}$ 倍になります）。

特性曲線。 $t$ を固定し、$s\in[0,t]$ の関数

$$F(s)=\exp\Big(n\int_0^s\gamma(\bar\lambda(s'))ds'\Big)\,G\big(p_i;\bar\lambda(s),e^{s-t}\mu\big)$$

を考えます。連鎖律で、$\bar\lambda'=\beta(\bar\lambda)$ と $\frac{d}{ds}(e^{s-t}\mu)=e^{s-t}\mu$ を使うと

$$F'(s)=\exp(\cdots)\Big[n\gamma+\beta\partial_\lambda+\mu\partial_\mu\Big]G\Big|_{(\bar\lambda(s),\,e^{s-t}\mu)}=0$$

です（最後に仮定の方程式を点 $(\bar\lambda(s),e^{s-t}\mu)$ で使いました）。したがって $F(0)=F(t)$、すなわち $G(p_i;\lambda,e^{-t}\mu)=\exp\big(n\int_0^t\gamma\big)G(p_i;\bar\lambda(t),\mu)$ です。次元解析の式に代入して主張を得ます。

∎

この定理は、「運動量をスケールすることは、結合定数を走らせることと同じ」という主張です。例 3.2 の 4 点関数で意味を確かめます。1 ループで $Q^2\gg m^2$ のとき、$\Gamma^{(4)}$ の運動量依存性は $\lambda+\frac{3\lambda^2}{32\pi^2}\ln\frac{Q^2}{\mu^2}+\cdots$ の形で（$B_d$ の $-\int_0^1dx\ln\Delta$ から来ます）、$Q\gg\mu$ では $\lambda\ln\frac Q\mu$ が $1$ 程度になり、摂動展開が破綻します。一方、定理の右辺では、運動量 $p_i$ を $\mu$ 程度に選べば $G(p_i;\bar\lambda,\mu)$ の摂動展開に大きな対数は現れず、すべての対数は $\bar\lambda(t)$ に吸収されています。

命題 4.4（走る結合は主要対数の和）✓

$\beta(\lambda)=b\lambda^2$（1 ループで打ち切ったもの）とします。このとき $\bar\lambda(t)=\frac{\lambda}{1-b\lambda t}$ で、$|b\lambda t|\lt1$ では

$$\bar\lambda(t)=\sum_{k\ge0}b^k\lambda^{k+1}t^k$$

です。すなわち $\bar\lambda$ は、摂動論の各次数 $\lambda^{k+1}$ で最も高いべきの対数 $t^k$ をもつ項（主要対数）の和です。

証明（命題 4.4）

$\frac{d}{dt}\frac{1}{\bar\lambda}=-\frac{\bar\lambda'}{\bar\lambda^2}=-b$ なので $\frac1{\bar\lambda(t)}=\frac1\lambda-bt$ で、主張の式です。等比級数に展開すれば後半を得ます。次の項 $\beta\supset b'\lambda^3$ を入れても、$\lambda^{k+1}t^k$ の係数は変わりません。$\bar\lambda$ を $\lambda$ のべきで展開したとき、$b'$ は $\lambda^{k+1}t^{k-1}$ 以下の項にしか寄与しないからです（$\bar\lambda'=\beta(\bar\lambda)$ を逐次代入すると、$t$ の 1 べきごとに $\beta$ が 1 回掛かり、$b'$ が掛かると $\lambda$ が 2 べき増えます）。

∎

命題 4.5（Landau 極と漸近的自由）✓

$\beta(\lambda)=b\lambda^2$、$\lambda\gt0$ とします。

1. $b\gt0$ なら、$\bar\lambda(t)$ は $t\to t_{\mathrm L}=\frac{1}{b\lambda}$ で $+\infty$ に発散します。$Q_{\mathrm L}=\mu e^{t_{\mathrm L}}$ を Landau 極と呼びます。$t\to-\infty$ では $\bar\lambda\to0$ です。
2. $b\lt0$ なら、$\bar\lambda(t)\to0$（$t\to+\infty$）で、$\bar\lambda(t)\sim\frac{1}{|b|t}$ です（漸近的自由）。$\Lambda=\mu e^{-1/(|b|\lambda)}$ と置くと $\bar\lambda=\frac{1}{|b|\ln(Q/\Lambda)}$ で、$Q\to\Lambda$ で発散します。

証明（命題 4.5）

命題 4.4 の $\frac1{\bar\lambda(t)}=\frac1\lambda-bt$ から読みます。$b\gt0$ では右辺は単調減少で $t=\frac1{b\lambda}$ で $0$ になり、その直前まで正なので $\bar\lambda\to+\infty$ です。$b\lt0$ では右辺は $\frac1\lambda+|b|t$ で単調増加して $+\infty$ に発散し、$t=\ln(Q/\mu)$ を代入すると $\frac1{\bar\lambda}=|b|\big(\ln\frac Q\mu+\frac{1}{|b|\lambda}\big)=|b|\ln\frac Q\Lambda$ です。

∎

QED（例 5.3［QED の 1 ループ］）と $\phi^4$ 理論は 1 の場合、非可換ゲージ理論（系 5.3［非可換ゲージ理論の量子化］）は 2 の場合です（$\alpha=g^2/4\pi$ を $\lambda$ とみると $\mu\frac{d\alpha}{d\mu}=-\frac{b_0}{2\pi}\alpha^2$）。どちらの「発散」も、$\bar\lambda$ が大きくなって 1 ループの β 関数が信用できなくなった領域での話なので、命題は「摂動論が自ら適用限界を示す」と読むべきです。

1 ループの走る結合の逆数 1/ᾱ は ln Q の 1 次関数。傾きが負（β>0：QED・φ⁴）なら有限の Q_L で 0 を横切り（Landau 極）、正（β<0：非可換ゲージ理論）なら Λ より上で増え続ける（漸近的自由）。

最後に、β 関数のどこまでが「物理」かを確かめます。くりこまれた結合の定義には任意性があり、別の処方で定めた結合 $\lambda'$ は $\lambda$ の関数 $\lambda'=\lambda+c\lambda^2+\cdots$ です。

定理 4.6（β 関数の最初の 2 係数はスキームによらない）✓

$k$ を自然数とし、結合 $\lambda$ の β 関数が $\beta(\lambda)=b_1\lambda^{k+1}+b_2\lambda^{2k+1}+O(\lambda^{2k+2})$ であるとします。別の結合 $\lambda'=\lambda+c\lambda^{k+1}+O(\lambda^{k+2})$（$c$ は定数）を使うと、その β 関数 $\beta'(\lambda')=\mu\frac{d\lambda'}{d\mu}$ は

$$\beta'(\lambda')=b_1\lambda'^{k+1}+b_2\lambda'^{2k+1}+O(\lambda'^{2k+2})$$

です。$\phi^4$ 理論は $k=1$、ゲージ結合 $g$（β 関数が $g$ の奇数べき）は $k=2$ の場合です。

証明（定理 4.6）

連鎖律で $\beta'=\frac{d\lambda'}{d\lambda}\beta(\lambda)=\big(1+(k+1)c\lambda^k+O(\lambda^{k+1})\big)\big(b_1\lambda^{k+1}+b_2\lambda^{2k+1}+\cdots\big)=b_1\lambda^{k+1}+\big(b_2+(k+1)cb_1\big)\lambda^{2k+1}+O(\lambda^{2k+2})$ です。これを $\lambda'$ で書き直します。$\lambda=\lambda'-c\lambda'^{k+1}+O(\lambda'^{k+2})$ なので $\lambda^{k+1}=\lambda'^{k+1}-(k+1)c\lambda'^{2k+1}+O(\lambda'^{2k+2})$ で、代入すると $(k+1)cb_1$ の項が打ち消し合い、主張を得ます。

∎

注意 4.7

「$\lambda'-\lambda$ が $\lambda^{k+1}$ から始まる」という仮定は、2 つの結合がツリーレベルで同じ量（たとえば 3 点頂点の係数）を指していることを意味します。この仮定の下で、1 ループの係数 $b_1$ はどの処方で計算しても同じです。注意 6.4［くりこみ理論入門］ で主張だけを述べた事実はこれです。結合が 2 個以上あると、$b_2$ は一般にスキームによります。

5. 背景場法と非可換ゲージ理論の 1 ループ β 関数

非可換ゲージ理論の量子化の 注意 5.2［非可換ゲージ理論の量子化］ の方法では、フェルミオン場・グルーオン場・頂点の 3 つのくりこみ定数を計算する必要があります。背景場法は、ゲージ不変性を残したままゲージを固定することで、必要な計算を「背景場の 2 点関数」1 つに減らします。この節は Euclid 空間で書きます。計量は $\delta_{\mu\nu}$、ガンマ行列は Hermite で $\{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=2\delta_{\mu\nu}$、Euclid 作用を $S$ として重みは $e^{-S}$ です。共変微分 $D_\mu=\partial_\mu-igA^a_\mu t^a_r$、構造定数と随伴表現は 定義 2.1［非可換ゲージ理論の量子化］・定義 2.2［非可換ゲージ理論の量子化］ のものです。

5.1. 背景場ゲージ

定義 5.1（背景場ゲージと 1 ループ有効作用）↗

ゲージ場を古典的な背景 $\bar A^a_\mu$ と量子揺らぎ $a^a_\mu$ に分けて $A=\bar A+a$ とし、背景の共変微分 $\bar D_\mu$（随伴表現で $\bar D^{ac}_\mu=\delta^{ac}\partial_\mu+gf^{abc}\bar A^b_\mu$）を使ってゲージ固定条件を $G^a=(\bar D_\mu a_\mu)^a$ とします（$\xi=1$）。ゲージ固定項は $\frac12(\bar D_\mu a_\mu)^a(\bar D_\nu a_\nu)^a$、ゴースト項は $\bar c^a\big(-\bar D_\mu D_\mu(\bar A+a)\big)^{ab}c^b$ です。$a$、ゴースト、物質場について 1PI の部分を積分した $\Gamma[\bar A]$（$e^{-\Gamma}$ が分配関数の 1PI 部分）を背景場の有効作用と呼びます。

このゲージ固定は、背景場のゲージ変換 $\bar A_\mu\mapsto V\bar A_\mu V^{-1}-\frac ig(\partial_\mu V)V^{-1}$ に、揺らぎ・ゴースト・物質場の随伴（または表現 $r$）での回転 $a\mapsto VaV^{-1}$、$c\mapsto VcV^{-1}$、$\psi\mapsto V\psi$ を組み合わせた変換で不変です。$\bar D_\mu a_\mu$ が随伴表現で共変に変換するからです（命題 2.7［非可換ゲージ理論の量子化］）。

命題 5.2（揺らぎの 2 次の作用）✓

定義 5.1 の作用を $a$、$c$、$\psi$ の 2 次まで展開すると（$a$ の 1 次の項は 1PI の部分に寄与しません）、2 次の部分は

$$\frac12a^a_\nu\Big[(-\bar D^2)^{ac}\delta_{\nu\mu}+2gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}\Big]a^c_\mu+\bar c^a(-\bar D^2)^{ac}c^c+\bar\psi\,\bar{\not{D}}\,\psi$$

です（$\bar D^2=\bar D_\mu\bar D_\mu$）。したがって 1 ループの有効作用は、$n_f$ 種類の表現 $r$ の質量 $0$ の Dirac フェルミオンについて

$$\Gamma_1[\bar A]=\frac12\ln\det\Delta_{\mathrm{gl}}-\ln\det\big(-\bar D^2\big)_G-\frac{n_f}{2}\ln\det\big(-\bar{\not D}^2\big)_r$$

です。ここで $\Delta_{\mathrm{gl}}$ は上の $a$ の 2 次形式の演算子、添字 $G$、$r$ は作用する表現です。

証明（命題 5.2）

グルーオン。 $F^a_{\mu\nu}(\bar A+a)=\bar F^a_{\mu\nu}+(\bar D_\mu a_\nu-\bar D_\nu a_\mu)^a+gf^{abc}a^b_\mu a^c_\nu$ です（$F$ の定義に代入して整理すると得られます）。$\frac14F^aF^a$ の $a$ の 2 次の項は $\frac14(\bar D_\mu a_\nu-\bar D_\nu a_\mu)^2+\frac12g\bar F^a_{\mu\nu}f^{abc}a^b_\mu a^c_\nu$ です。第 1 項を部分積分すると $\frac12a_\nu(-\bar D^2)a_\nu+\frac12a_\nu\bar D_\mu\bar D_\nu a_\mu$ となり、$\bar D_\mu\bar D_\nu=\bar D_\nu\bar D_\mu+[\bar D_\mu,\bar D_\nu]$ と随伴表現での $[\bar D_\mu,\bar D_\nu]^{ac}=gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}$（命題 2.7［非可換ゲージ理論の量子化］ の $F=\frac ig[D,D]$ を随伴表現 $(t^b_G)_{ac}=if^{abc}$ で書いたもの）を使うと、$\frac12a_\nu\bar D_\nu\bar D_\mu a_\mu=-\frac12(\bar D_\mu a_\mu)^2$（部分積分）と $\frac12gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}a^a_\nu a^c_\mu$ に分かれます。前者はゲージ固定項と打ち消し合います。後者と $\frac12g\bar F^a_{\mu\nu}f^{abc}a^b_\mu a^c_\nu$（添字を付け替えると同じ $\frac12gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}a^a_\nu a^c_\mu$ になります）を足して主張の $2gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}$ を得ます。

ゴーストと物質。 ゴースト項の $D_\mu(\bar A+a)$ を $\bar D_\mu$ に置き換えた差は $a$ の 1 次で、ゴーストについて 2 次・揺らぎについて 1 次の頂点を与えるので、1 ループの真空図（背景場の汎関数）には寄与しません。フェルミオンは $\bar\psi\not D\psi$ の $A$ を $\bar A$ に置き換えたものが 2 次の部分です。

行列式。 Gauss 積分は、実のボソン $a$ について $(\det\Delta_{\mathrm{gl}})^{-1/2}$、Grassmann のゴーストについて $\det(-\bar D^2)$、Dirac フェルミオンについて $\det\bar{\not D}$ を与えます（経路積分量子化の Appendix のグラスマン積分）。$\Gamma=-\ln Z$ なので符号は主張のとおりです。最後に、$\gamma_5$ が $\bar{\not D}$ と反可換なので $\bar{\not D}$ の非零固有値は $\pm i\lambda$ の対で現れ、$\det\bar{\not D}=\det(-\bar{\not D}^2)^{1/2}$ です。

∎

命題 5.2 の 3 つの演算子は、いずれも背景場のゲージ変換で $\Delta\mapsto V\Delta V^{-1}$ と変換するので、その行列式は不変です。よって $\Gamma_1[\bar A]$ は背景場のゲージ不変な汎関数で、その紫外発散（補題 2.2 により局所的、次元 4）は $\int\bar F^a_{\mu\nu}\bar F^a_{\mu\nu}$ の定数倍しかありえません（$\epsilon_{\mu\nu\rho\sigma}\bar F\bar F$ は全微分で、しかもパリティ不変な理論では現れません）。定数を決めるには、$\bar A$ の 2 次の項だけを計算すれば十分です。

5.2. 共変なラプラス型演算子の行列式

次の補題は、背景場の 2 次の項だけを取り出して、行列式の極を調べます。計算は長いですが、筋は 2 つです。演算子を「自由な部分」＋「背景場による摂動」に分けて $\ln\det=\mathrm{Tr}\ln$ をべきに展開すること、摂動を「粒子の軌道の動き」による部分とスピンの向きによる部分に分けて、それぞれの極を別々に求めることです。最後に足すと、前者は遮蔽、後者は反遮蔽の向きに効きます。

補題 5.3（ln det の極：軌道部分とスピン部分）✓

表現 $r$ の内部添字と、$d(j)$ 成分の「スピン」添字をもつ場に作用する演算子

$$\Delta_{r,j}=-\bar D^2\otimes\mathbf 1_{d(j)}+g\bar F^a_{\rho\sigma}\,t^a_r\otimes\mathcal J^{\rho\sigma}$$

を考えます。$\mathcal J^{\rho\sigma}=-\mathcal J^{\sigma\rho}$ は $d(j)$ 次の定数行列で、$\mathrm{tr}\,\mathcal J^{\rho\sigma}=0$、$\mathrm{tr}(\mathcal J^{\rho\sigma}\mathcal J^{\lambda\tau})=C(j)\big(\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}-\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda}\big)$ を満たすとします。このとき $d=4-\varepsilon$ の次元正則化で、$\ln\det\Delta_{r,j}$ の $\bar A$ の 2 次の部分の極は

$$\ln\det\Delta_{r,j}\Big|_{\text{極}}=\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}\cdot\frac2\varepsilon\Big(\frac{d(j)}{3}-4C(j)\Big)\cdot\frac14\int d^dx\,\bar F^a_{\mu\nu}\bar F^a_{\mu\nu}$$

です。

証明（補題 5.3）

$\Delta_{r,j}=\Delta_0+V$、$\Delta_0=-\partial^2$ と分けます。$-\bar D^2=-\partial^2+ig(\partial_\mu\circ\bar A_\mu+\bar A_\mu\circ\partial_\mu)+g^2\bar A_\mu\bar A_\mu$ なので（$\bar A_\mu=\bar A^a_\mu t^a_r$）、$V=V_{\mathrm{orb}}+V_2+V_{\mathrm{spin}}$、$V_{\mathrm{orb}}=ig\{\partial_\mu,\bar A_\mu\}$、$V_2=g^2\bar A_\mu\bar A_\mu$、$V_{\mathrm{spin}}=g\bar F^a_{\rho\sigma}t^a\otimes\mathcal J^{\rho\sigma}$ です。$\ln\det=\mathrm{Tr}\ln$ を $V$ で展開すると

$$\ln\det\Delta_{r,j}=\mathrm{Tr}\ln\Delta_0+\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V)-\frac12\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V\Delta_0^{-1}V)+O(V^3)$$

で、$\bar A$ の 2 次の項は $\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_2)$ と $-\frac12\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{orb}}\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{orb}})$ と $-\frac12\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{spin}}\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{spin}})$、および $V_{\mathrm{spin}}$ の中の $\bar F$ の非可換部分 $gf^{abc}\bar A^b\bar A^c$ による 1 次の項です。後者と、$V_{\mathrm{orb}}$ と $V_{\mathrm{spin}}$ の交差項は $\mathrm{tr}\,\mathcal J^{\rho\sigma}=0$ で消えます。$\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_2)=g^2\,\mathrm{tr}(t^at^b)d(j)\int d^dx\,\bar A^a_\mu\bar A^b_\mu\int_k\frac1{k^2}$ は 補題 2.1 で $0$ です。

Fourier 変換 $\bar A_\mu(x)=\int_qe^{iq\cdot x}\tilde A_\mu(q)$ を使うと、平面波の間の行列要素は $\langle k+q|V_{\mathrm{orb}}|k\rangle=-g(2k+q)_\mu\tilde A_\mu(q)$、$\langle k+q|V_{\mathrm{spin}}|k\rangle=g\tilde F^a_{\rho\sigma}(q)t^a\otimes\mathcal J^{\rho\sigma}$ です。

軌道部分。 スピンの添字のトレースが $d(j)$ を与え、$\mathrm{tr}(t^at^b)=C(r)\delta^{ab}$ なので

$$-\frac12\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{orb}}\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{orb}})=-\frac{g^2C(r)d(j)}2\int_q\tilde A^a_\mu(-q)\tilde A^a_\nu(q)\,I_{\mu\nu}(q),\qquad I_{\mu\nu}(q)=\int_k\frac{(2k+q)_\mu(2k+q)_\nu}{k^2(k+q)^2}$$

です。ファインマン・パラメータで $\ell=k+xq$、$\Delta=x(1-x)q^2$ と置くと、分子は $4\ell_\mu\ell_\nu+(1-2x)^2q_\mu q_\nu$（$\ell$ の 1 次を除く）で、補題 2.6［QED の 1 ループ］ により $4\ell_\mu\ell_\nu\mapsto\frac4d\ell^2\delta_{\mu\nu}$ です。定理 2.5［QED の 1 ループ］ の Euclid 版から

$$\frac4d\int_\ell\frac{\ell^2}{(\ell^2+\Delta)^2}=\frac{2\,\Gamma(1-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\Delta^{\frac d2-1},\qquad \int_\ell\frac{1}{(\ell^2+\Delta)^2}=\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\Delta^{\frac d2-2}$$

で、極はそれぞれ $-\frac{2\Delta}{16\pi^2}\frac2\varepsilon$、$\frac1{16\pi^2}\frac2\varepsilon$ です（$\Gamma(1-\frac d2)=\frac{\Gamma(2-d/2)}{1-d/2}$、$1-\frac d2\to-1$）。$\int_0^1x(1-x)dx=\frac16$、$\int_0^1(1-2x)^2dx=\frac13$ から

$$I_{\mu\nu}\Big|_{\text{極}}=-\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{16\pi^2}\frac2\varepsilon\big(q^2\delta_{\mu\nu}-q_\mu q_\nu\big)$$

です。一方 $\frac14\int\bar F^a_{\mu\nu}\bar F^a_{\mu\nu}$ の 2 次の部分は $\frac12\int_q\tilde A^a_\mu(-q)(q^2\delta_{\mu\nu}-q_\mu q_\nu)\tilde A^a_\nu(q)$ なので、軌道部分の極は $\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}\frac2\varepsilon\cdot\frac{d(j)}3\cdot\frac14\int\bar F^a\bar F^a$ です。

スピン部分。 同様に

$$-\frac12\mathrm{Tr}(\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{spin}}\Delta_0^{-1}V_{\mathrm{spin}})=-\frac{g^2}2C(r)C(j)\big(\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}-\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda}\big)\int_q\tilde F^a_{\rho\sigma}(-q)\tilde F^a_{\lambda\tau}(q)\int_k\frac{1}{k^2(k+q)^2}$$

です。$\tilde F$ の反対称性で括弧の縮約は $2\tilde F^a_{\rho\sigma}(-q)\tilde F^a_{\rho\sigma}(q)$ になり、$k$ 積分の極は $\frac1{16\pi^2}\frac2\varepsilon$ です（$\Delta=x(1-x)q^2$ の $n=2$ の基本積分）。Parseval の等式 $\int_q\tilde F(-q)\tilde F(q)=\int d^dx\,\bar F\bar F$ から、スピン部分の極は $-g^2C(r)C(j)\frac1{16\pi^2}\frac2\varepsilon\int\bar F^a\bar F^a=\frac{g^2C(r)}{16\pi^2}\frac2\varepsilon(-4C(j))\cdot\frac14\int\bar F^a\bar F^a$ です。2 つを足して主張を得ます。

∎

軌道部分の $\frac{d(j)}3$ は、荷電粒子の軌道運動による遮蔽（反磁性）、スピン部分の $-4C(j)$ は、スピンの磁気モーメントによる反遮蔽（常磁性）にあたります。注意 5.5［非可換ゲージ理論の量子化］ の「$\frac{11}3=4-\frac13$」はこの分解です。

補題 5.4（各場の d(j) と C(j)）✓

補題 5.3 の $d(j)$、$C(j)$ は、スカラー（ゴーストを含む）で $d=1$、$C=0$、グルーオン（命題 5.2 の演算子）で $d=4$、$C=2$、Dirac フェルミオン（$-\not D^2$）で $d=4$、$C=1$ である（極の係数では $d\to4$ としてよい）。

証明（補題 5.4）

スカラー。 $\Delta=-\bar D^2$ そのもので、$\mathcal J=0$ なので $d=1$、$C=0$ です。ゴーストもこれです。

グルーオン。 命題 5.2 の演算子は、$(\mathcal J^{\rho\sigma})_{\nu\mu}=i\big(\delta_{\rho\nu}\delta_{\sigma\mu}-\delta_{\sigma\nu}\delta_{\rho\mu}\big)$ と随伴表現 $(t^b_G)_{ac}=if^{abc}$ で $g\bar F^b_{\rho\sigma}(t^b_G)_{ac}(\mathcal J^{\rho\sigma})_{\nu\mu}=g(if^{abc})\cdot2i\bar F^b_{\nu\mu}=2gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}$ と書けます。$\mathrm{tr}\,\mathcal J^{\rho\sigma}=i(\delta_{\rho\sigma}-\delta_{\sigma\rho})=0$、$\mathrm{tr}(\mathcal J^{\rho\sigma}\mathcal J^{\lambda\tau})=-\sum_{\nu\mu}(\delta_{\rho\nu}\delta_{\sigma\mu}-\delta_{\sigma\nu}\delta_{\rho\mu})(\delta_{\lambda\mu}\delta_{\tau\nu}-\delta_{\tau\mu}\delta_{\lambda\nu})=2(\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}-\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda})$ なので、$d=4$、$C=2$ です（極の係数では $d\to4$ としてよい）。

Dirac フェルミオン。 $\not D\not D=\gamma_\mu\gamma_\nu D_\mu D_\nu=D^2+\frac14[\gamma_\mu,\gamma_\nu][D_\mu,D_\nu]$ と $[D_\mu,D_\nu]=-igF^a_{\mu\nu}t^a$ から $-\not D^2=-D^2+gF^a_{\rho\sigma}t^a\otimes\frac i4[\gamma_\rho,\gamma_\sigma]$ です。$\mathcal J^{\rho\sigma}=\frac i4[\gamma_\rho,\gamma_\sigma]$ はトレース $0$ で、$\rho\ne\sigma$、$\lambda\ne\tau$ のとき $\mathrm{tr}(\mathcal J^{\rho\sigma}\mathcal J^{\lambda\tau})=-\frac14\mathrm{tr}(\gamma_\rho\gamma_\sigma\gamma_\lambda\gamma_\tau)=-\big(\delta_{\rho\sigma}\delta_{\lambda\tau}-\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}+\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda}\big)=\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}-\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda}$ です（補題 7.1［摂動論とファインマン則］ の Euclid 版）。よって $d=4$（$\mathrm{tr}\,\mathbf 1=4$）、$C=1$ です。

∎

例 5.5（各場の d(j) と C(j)）

補題 5.4 の値を 補題 5.3 の係数 $\frac{d(j)}3-4C(j)$ に入れると、スカラーは $\frac13$、グルーオンは $\frac43-8$、Dirac フェルミオンは $\frac43-4$ です。スピンを持つ場ほど常磁性的な反遮蔽 $-4C(j)$ が効き、グルーオンでは軌道部分の遮蔽を大きく上回ります。

5.3. β 関数

定理 5.6（非可換ゲージ理論の 1 ループの β 関数（背景場法による証明））✓

コンパクトな単純 Lie 群 $G$ のゲージ理論に、表現 $r$ の Dirac フェルミオン $n_f$ 種類と、表現 $r_s$ の複素スカラー $n_s$ 種類が結合しているとします。MS スキームの結合 $g(\mu)$ の β 関数は

$$\beta(g)=-\frac{b_0g^3}{16\pi^2}+O(g^5),\qquad b_0=\frac{11}{3}C_G-\frac43n_fC(r)-\frac13n_sC(r_s)$$

です。特に 定理 5.1［非可換ゲージ理論の量子化］ が成り立ちます。

証明（定理 5.6）

有効作用の極。 複素スカラーは $+\ln\det(-\bar D^2)_{r_s}$ を $\Gamma_1$ に加えます（命題 5.2 と同じ Gauss 積分）。補題 5.3 を 補題 5.4 のデータで各項に適用すると、$\frac{g^2}{16\pi^2}\frac2\varepsilon\cdot\frac14\int\bar F^a\bar F^a$ の係数は

$$\frac12C_G\Big(\frac43-8\Big)-C_G\cdot\frac13-\frac{n_f}2C(r)\Big(\frac43-4\Big)+n_sC(r_s)\cdot\frac13=-\frac{11}3C_G+\frac43n_fC(r)+\frac13n_sC(r_s)=-b_0$$

です。ゲージ不変性（5.1 節末）により、この極は $\bar A$ の高次の項も含めて $-b_0\frac{g^2}{16\pi^2}\frac2\varepsilon\cdot\frac14\int\bar F^a\bar F^a$ に等しくなります。

くりこみ。 $\mathcal A_\mu=g_0\bar A_\mu$ と置くと、$\bar D$ は $\mathcal A$ だけで書け（$\bar D_\mu=\partial_\mu-i\mathcal A^a_\mu t^a$）、ツリーの作用は $\frac{1}{4g_0^2}\int F(\mathcal A)^2$、1 ループの項は $g_0$ によりません。上の極の式で $g^2\bar F\bar F=F(\mathcal A)F(\mathcal A)$ なので、運動量 $q$ での $\frac14\int F(\mathcal A)^2$ の係数は、補題 5.3 の証明の積分の有限部分まで含めて

$$\frac{1}{g_0^2}-\frac{b_0}{16\pi^2}\Big[\frac2\varepsilon-\ln q^2+c\Big]+O(\varepsilon)$$

（$c$ は定数）です。MS では $\frac1{g_0^2}=\mu^{-\varepsilon}\Big[\frac1{g^2}+\frac{b_0}{16\pi^2}\frac2\varepsilon\Big]+O(g^2)$ と置けば、$\varepsilon\to0$ で係数は $\frac{1}{g(\mu)^2}+\frac{b_0}{16\pi^2}\ln\frac{q^2}{\mu^2}+\text{定数}$ と有限になります（$\mu^{-\varepsilon}$ と 1 ループの項の $(q^2)^{-\varepsilon/2}$ から対数が出ます）。$g_0$ が $\mu$ によらないことから

$$0=\mu\frac{d}{d\mu}\frac{1}{g_0^2}=\mu^{-\varepsilon}\Big[-\varepsilon\Big(\frac1{g^2}+\frac{2b_0}{16\pi^2\varepsilon}\Big)-\frac{2\beta}{g^3}\Big]$$

で、$\beta=-\frac\varepsilon2g-\frac{b_0g^3}{16\pi^2}+O(g^5)$ を得ます。これは $g_0=\mu^{\varepsilon/2}g\big(1-\frac{b_0g^2}{16\pi^2\varepsilon}\big)$ に 定理 3.1（$\rho=\frac12$）を適用した結果と同じです。

通常の定義との関係。 非可換ゲージ場の量子化 の 1 ループの β 関数の定理（主張の「特に」の部分。これはここで示す側で、証明には使いません）の $g$ は、通常の共変ゲージでフェルミオン–グルーオン頂点から定めた結合です。2 つの結合はツリーレベルで同じ量（$\bar\psi\not A\psi$ の係数）を表すので $g'=g+O(g^3)$ の関係にあり、定理 4.6（$k=2$）により $b_0$ は共通です。$SU(N)$ の基本表現では $C_G=N$、$C(F)=\frac12$（補題 2.5［非可換ゲージ理論の量子化］）なので、$b_0=\frac{11N}3-\frac{2n_f}3$ です。

∎

注意 5.7

実際には、MS スキームでは背景場ゲージで定めた $g$ と通常のゲージで定めた $g$ は全次数で一致します（Abbott 1981）。背景場のゲージ不変性から $Z_gZ_{\bar A}^{1/2}=1$ が成り立ち、背景場の自己エネルギーだけで $Z_g$ が決まるからです。本章では 1 ループの係数しか使わないので、定理 4.6 で足ります。

例 5.8（QED と標準模型のゲージ結合）

QED。 $C_G=0$、$t=1$（$C=1$）とすると $b_0=-\frac43$、$\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}$ で、定理 5.2［QED の 1 ループ］ と一致します。

標準模型。 左巻き Weyl フェルミオンでは 2 成分の演算子 $-(\bar\sigma\cdot D)(\sigma\cdot D)$ について $d=2$、$C=\frac12$ となり、寄与は Dirac フェルミオンの半分の $\frac23C(r)$ です。$SU(2)_L$ では、1 世代の 2 重項は $Q_{\mathrm L}$ が色 3 個、$L_{\mathrm L}$ が 1 個の計 4 個で、$C(\mathbf 2)=\frac12$ なので $3$ 世代で $\frac23\cdot\frac12\cdot4\cdot3=4$、Higgs 2 重項（複素スカラー 1 個）が $\frac13\cdot\frac12=\frac16$ です。よって

$$b_0^{SU(2)}=\frac{22}3-4-\frac16=\frac{19}6$$

です。$U(1)_Y$ では $C\to Y^2$ として、1 世代の $\sum Y^2$ は $6\cdot\frac1{36}+2\cdot\frac14+3\cdot\frac49+3\cdot\frac19+1=\frac{10}3$、Higgs は $2\cdot\frac14=\frac12$ なので $b_0^{U(1)}=-\frac23\cdot\frac{10}3\cdot3-\frac13\cdot\frac12=-\frac{41}6$ です。$SU(3)$ では $6$ 種類のクォークが Dirac フェルミオンとして寄与し、$b_0=11-4=7$ です。標準模型の $\alpha_s$ の走り（$b_0=11-\frac23n_f$）は、この定理の $n_f$ を質量の軽いクォークの数に限ったものです。

6. 演習

演習 6.1標準

$d=4-\varepsilon$ で $\int_\ell\frac{1}{(\ell^2)^2}$ を、$\frac{1}{(\ell^2)^2}=\frac{1}{\ell^2(\ell^2+M^2)}+\frac{M^2}{(\ell^2)^2(\ell^2+M^2)}$ と分けて計算してください。第 1 項が紫外の極、第 2 項が赤外の極をもち、和が $0$ になることを確かめ、質量のない理論で「紫外の極」を読むときの注意を述べてください。

解答

第 1 項は $\Delta=xM^2$ のファインマン・パラメータ積分で、定理 2.5［QED の 1 ループ］ より

$$\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\int_0^1dx\,(xM^2)^{\frac d2-2}=\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\frac{(M^2)^{\frac d2-2}}{\frac d2-1}$$

で、極は $+\frac{1}{16\pi^2}\frac2\varepsilon$ です（$\ell\to\infty$ で被積分関数が $\ell^{-4}$ なので紫外の極）。第 2 項は紫外では $\ell^{-6}$ で収束し、$\ell\to0$ で $\ell^{-4}$ の赤外発散をもちます。$4\lt d\lt6$ で極座標を使い、$\int_0^\infty\frac{r^{d-5}dr}{r^2+M^2}=\frac12(M^2)^{\frac d2-3}\Gamma(\frac d2-2)\Gamma(3-\frac d2)$（Beta 関数）と $|S^{d-1}|/(2\pi)^d=\frac{2}{(4\pi)^{d/2}\Gamma(d/2)}$ から、第 2 項は

$$\frac{(M^2)^{\frac d2-2}}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(\frac d2-2)\Gamma(3-\frac d2)}{\Gamma(\frac d2)}=-\frac{\Gamma(2-\frac d2)}{(4\pi)^{d/2}}\frac{(M^2)^{\frac d2-2}}{\frac d2-1}$$

です（$\Gamma(3-\frac d2)=(2-\frac d2)\Gamma(2-\frac d2)$、$\Gamma(\frac d2)=(\frac d2-1)(\frac d2-2)\Gamma(\frac d2-2)$ を使いました）。$d\to4$ の極 $-\frac1{16\pi^2}\frac2\varepsilon$ は赤外の極で、和は恒等的に $0$ です。これは 補題 2.1 の具体例です。教訓は、質量のない理論でスケールのない積分を $0$ と置くと、紫外の極と赤外の極が混ざることです。くりこみ定数を読むには、外線運動量か質量で赤外を正則化して紫外の極だけを拾ってください（補題 5.3 の証明では外線運動量 $q$ が赤外を正則化しています）。

演習 6.2易

ゲージ群 $G$ の随伴表現に属する左巻き Weyl フェルミオン 4 個と実スカラー 6 個を含む理論（$\mathcal N=4$ 超対称ヤン–ミルズ理論の場の内容）の $b_0$ を 定理 5.6 から求めてください。

解答

Weyl フェルミオン 1 個は Dirac の半分なので $\frac23C_G$、4 個で $\frac83C_G$ です。実スカラーは複素スカラーの半分（$\ln\det$ の係数 $\frac12$）で $\frac16C_G$、6 個で $C_G$ です。$b_0=\frac{11}3C_G-\frac83C_G-C_G=0$ です。1 ループで β 関数が消えます（実際には全次数で $0$ であることが知られています）。

演習 6.3標準

質量のない理論で、β 関数が $\lambda_*$ で $0$ になる（固定点）とし、$\lambda=\lambda_*$ とします。連結 2 点関数 $G^{(2)}(p)$（運動量空間で $\delta$ 関数を除いたもの、質量次元 $-2$）が $G^{(2)}(p)\propto(p^2)^{-1+\gamma(\lambda_*)}$ と振る舞うことを 定理 4.3 から示してください。

解答

$\bar\lambda(t)=\lambda_*$ が初期値問題の解なので、定理 4.3 で $n=2$、$D=-2$ として $G^{(2)}(e^tp)=e^{-2t}e^{2\gamma_*t}G^{(2)}(p)$（$\gamma_*=\gamma(\lambda_*)$）です。$p$ を固定して $e^t=|p'|/|p|$ と置くと $G^{(2)}(p')=C\,|p'|^{-2+2\gamma_*}=C(p'^2)^{-1+\gamma_*}$ です。4 次元の Fourier 変換で $|x|^{-2\Delta}$ は $|p|^{2\Delta-4}$ に対応するので、位置空間では $\langle\phi(x)\phi(0)\rangle\propto|x|^{-2(1+\gamma_*)}$ で、場の次元が $1$ から $1+\gamma_*$ に変わったと読めます。これが異常次元の名前の由来で、定理 7.3［くりこみ理論入門］ の内容と同じです。

参考文献

• M. E. Peskin, D. V. Schroeder『An Introduction to Quantum Field Theory』Addison-Wesley、1995 — 第 10 章 §10.2、第 12 章（Callan–Symanzik 方程式、MS スキーム）、第 16 章 §16.6（背景場法による β 関数）。
• J. C. Collins『Renormalization』Cambridge University Press、1984 — 第 4 章（次元正則化）、第 5 章（MS スキームとくりこみ群）。
• G. ‘t Hooft, M. Veltman, “Regularization and renormalization of gauge fields”, Nuclear Physics B 44 (1972), 189.
• G. ‘t Hooft, “Dimensional regularization and the renormalization group”, Nuclear Physics B 61 (1973), 455.
• C. G. Callan, “Broken scale invariance in scalar field theory”, Physical Review D 2 (1970), 1541. K. Symanzik, “Small distance behaviour in field theory and power counting”, Communications in Mathematical Physics 18 (1970), 227.
• L. F. Abbott, “The background field method beyond one loop”, Nuclear Physics B 185 (1981), 189.