ln det の極：軌道部分とスピン部分

表現 $r$ の内部添字と、$d(j)$ 成分の「スピン」添字をもつ場に作用する演算子

を考えます。$\mathcal J^{\rho\sigma}=-\mathcal J^{\sigma\rho}$ は $d(j)$ 次の定数行列で、$\mathrm{tr}\,\mathcal J^{\rho\sigma}=0$、$\mathrm{tr}(\mathcal J^{\rho\sigma}\mathcal J^{\lambda\tau})=C(j)\big(\delta_{\rho\lambda}\delta_{\sigma\tau}-\delta_{\rho\tau}\delta_{\sigma\lambda}\big)$ を満たすとします。このとき $d=4-\varepsilon$ の次元正則化で、$\ln\det\Delta_{r,j}$ の $\bar A$ の 2 次の部分の極は

です。