基本積分公式

定理 2.5（「QED の 1 ループ」§2）・ ✓公理まで証明済み

$\Delta\gt0$ 、 $n$ を自然数とし、 $d$ を $d\lt2n$ から解析接続すると

\int\frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\frac{1}{(\ell_E^2+\Delta)^n}=\frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(n-\frac d2)}{\Gamma(n)}\Delta^{\frac d2-n},\qquad \int\frac{d^d\ell_E}{(2\pi)^d}\frac{\ell_E^2}{(\ell_E^2+\Delta)^n}=\frac{1}{(4\pi)^{d/2}}\frac d2\frac{\Gamma(n-\frac d2-1)}{\Gamma(n)}\Delta^{\frac d2-n+1}

が成り立ちます。Minkowski 空間では、Wick 回転により

\int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\frac{1}{(\ell^2-\Delta)^n}=\frac{(-1)^ni}{(4\pi)^{d/2}}\frac{\Gamma(n-\frac d2)}{\Gamma(n)}\Delta^{\frac d2-n},\qquad \int\frac{d^d\ell}{(2\pi)^d}\frac{\ell^2}{(\ell^2-\Delta)^n}=\frac{(-1)^{n-1}i}{(4\pi)^{d/2}}\frac d2\frac{\Gamma(n-\frac d2-1)}{\Gamma(n)}\Delta^{\frac d2-n+1}

です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 0 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。