非可換ゲージ理論の 1 ループの β 関数（背景場法による証明）

定理 5.6（「次元正則化とくりこみ群」§5）・ ✓公理まで証明済み

コンパクトな単純 Lie 群 $G$ のゲージ理論に、表現 $r$ の Dirac フェルミオン $n_f$ 種類と、表現 $r_s$ の複素スカラー $n_s$ 種類が結合しているとします。MS スキームの結合 $g(\mu)$ の β 関数は

\beta(g)=-\frac{b_0g^3}{16\pi^2}+O(g^5),\qquad b_0=\frac{11}{3}C_G-\frac43n_fC(r)-\frac13n_sC(r_s)

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 11 件、定義なども含めて 12 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群
- ゲージ共変性✓命題 2.7・非可換ゲージ理論の量子化
ln det の極：軌道部分とスピン部分✓補題 5.3・次元正則化とくりこみ群
- スケールのない積分は 0✓補題 2.1・次元正則化とくりこみ群
  - 基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループ（上で展開済み）
- 対称積分と d 次元の γ 行列✓補題 2.6・QED の 1 ループ
- 基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループ
  - 次元正則化定義 2.2・QED の 1 ループ
各場の d(j) と C(j)✓補題 5.4・次元正則化とくりこみ群
- 揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群（上で展開済み）
- γ 行列のトレース✓補題 7.1・摂動論とファインマン則
β 関数・異常次元と 1 位の極✓定理 3.1・次元正則化とくりこみ群
β 関数の最初の 2 係数はスキームによらない✓定理 4.6・次元正則化とくりこみ群
SU(N) の Casimir✓補題 2.5・非可換ゲージ理論の量子化