揺らぎの 2 次の作用

命題 5.2（「次元正則化とくりこみ群」§5）・ ✓公理まで証明済み

定義 5.1 の作用を $a$ 、 $c$ 、 $\psi$ の 2 次まで展開すると（ $a$ の 1 次の項は 1PI の部分に寄与しません）、2 次の部分は

\frac12a^a_\nu\Big[(-\bar D^2)^{ac}\delta_{\nu\mu}+2gf^{abc}\bar F^b_{\mu\nu}\Big]a^c_\mu+\bar c^a(-\bar D^2)^{ac}c^c+\bar\psi\,\bar{\not{D}}\,\psi

です（ $\bar D^2=\bar D_\mu\bar D_\mu$ ）。したがって 1 ループの有効作用は、 $n_f$ 種類の表現 $r$ の質量 $0$ の Dirac フェルミオンについて

\Gamma_1[\bar A]=\frac12\ln\det\Delta_{\mathrm{gl}}-\ln\det\big(-\bar D^2\big)_G-\frac{n_f}{2}\ln\det\big(-\bar{\not D}^2\big)_r

です。ここで $\Delta_{\mathrm{gl}}$ は上の $a$ の 2 次形式の演算子、添字 $G$ 、 $r$ は作用する表現です。

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 1 件、定義なども含めて 1 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。