物理学 › 場の量子論 › 非可換ゲージ理論の量子化

非可換ゲージ理論の 1 ループのβ関数

定理 5.1（「非可換ゲージ理論の量子化」§5）・ ✓公理まで証明済み

コンパクトな単純 Lie 群 $G$ のゲージ理論に、表現 $r$ の Dirac フェルミオンが $n_f$ 種類あるとします。次元正則化と最小引き算でくりこんだ結合 $g(\mu)$ のβ関数（定義 6.1［くりこみ理論入門］）は

\beta(g)=\mu\frac{dg}{d\mu}=-\frac{g^3}{16\pi^2}\Big[\frac{11}{3}C_G-\frac43n_fC(r)\Big]+O(g^5)

です。 $G=SU(N)$ 、 $r$ が基本表現なら $\beta(g)=-\big(\frac{11N}{3}-\frac{2n_f}{3}\big)\frac{g^3}{16\pi^2}$ です。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 12 件、定義なども含めて 13 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 2 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非可換ゲージ理論の 1 ループの β 関数（背景場法による証明）✓定理 5.6・次元正則化とくりこみ群
- 揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群
  - ゲージ共変性✓命題 2.7・非可換ゲージ理論の量子化
- ln det の極：軌道部分とスピン部分✓補題 5.3・次元正則化とくりこみ群
  - スケールのない積分は 0✓補題 2.1・次元正則化とくりこみ群
    基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループ（上で展開済み）
  - 対称積分と d 次元の γ 行列✓補題 2.6・QED の 1 ループ
  - 基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループ
    次元正則化定義 2.2・QED の 1 ループ
- 各場の d(j) と C(j)✓補題 5.4・次元正則化とくりこみ群
  - 揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群（上で展開済み）
  - γ 行列のトレース✓補題 7.1・摂動論とファインマン則
- β 関数・異常次元と 1 位の極✓定理 3.1・次元正則化とくりこみ群
- β 関数の最初の 2 係数はスキームによらない✓定理 4.6・次元正則化とくりこみ群
- SU(N) の Casimir✓補題 2.5・非可換ゲージ理論の量子化
SU(N) の Casimir✓補題 2.5・非可換ゲージ理論の量子化

これを使っている定理証明で参照している 1 件

漸近的自由と次元転換✓系 5.3・非可換ゲージ理論の量子化

関連するノック 2 問