物理学 › 場の量子論 › 非可換ゲージ理論の量子化

漸近的自由と次元転換

系 5.3（「非可換ゲージ理論の量子化」§5）・ ✓公理まで証明済み

$b_0=\frac{11}{3}C_G-\frac43n_fC(r)\gt0$ とします。1 ループのβ関数で $\alpha_s=\frac{g^2}{4\pi}$ を走らせると、ある質量スケール $\Lambda$ を用いて

\alpha_s(\mu)=\frac{2\pi}{b_0\ln(\mu/\Lambda)}\qquad(\mu\gt\Lambda)

となり、 $\mu\to\infty$ で $\alpha_s(\mu)\to0$ です。 $\Lambda$ は 1 点 $\mu_0$ での値から $\Lambda=\mu_0\exp\big(-\frac{2\pi}{b_0\alpha_s(\mu_0)}\big)$ で決まります。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を前提としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています（前提の定理類 13 件、定義なども含めて 14 件）。

印の意味: ✓公理まで証明済み・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は閉包の状況。

前提をたどる証明が使う定理・定義（直接 1 件）

▸ を開くと、その項目の証明が使う前提が出ます。深い先は各項目のページでたどれます。

非可換ゲージ理論の 1 ループのβ関数✓定理 5.1・非可換ゲージ理論の量子化
- 非可換ゲージ理論の 1 ループの β 関数（背景場法による証明）✓定理 5.6・次元正則化とくりこみ群
  - 揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群
    ゲージ共変性✓命題 2.7・非可換ゲージ理論の量子化
  - ln det の極：軌道部分とスピン部分✓補題 5.3・次元正則化とくりこみ群
    スケールのない積分は 0✓補題 2.1・次元正則化とくりこみ群この先をたどる →
    対称積分と d 次元の γ 行列✓補題 2.6・QED の 1 ループ
    基本積分公式✓定理 2.5・QED の 1 ループこの先をたどる →
  - 各場の d(j) と C(j)✓補題 5.4・次元正則化とくりこみ群
    揺らぎの 2 次の作用✓命題 5.2・次元正則化とくりこみ群（上で展開済み）
    γ 行列のトレース✓補題 7.1・摂動論とファインマン則
  - β 関数・異常次元と 1 位の極✓定理 3.1・次元正則化とくりこみ群
  - β 関数の最初の 2 係数はスキームによらない✓定理 4.6・次元正則化とくりこみ群
  - SU(N) の Casimir✓補題 2.5・非可換ゲージ理論の量子化
- SU(N) の Casimir✓補題 2.5・非可換ゲージ理論の量子化

これを使っている定理

証明で明示的に参照している定理は、まだありません。

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