物理学 › 場の量子論 › 次元正則化とくりこみ群

β 関数・異常次元と 1 位の極

定理 3.1（「次元正則化とくりこみ群」§3） ・ ✓公理まで証明済み

定義 2.3 の MS スキームで、λ\lambda の形式的べき級数として

μ−ρελ0=λ+∑k≥1ak(λ)εk,ln⁡Zϕ=∑k≥1ζk(λ)εk,ln⁡Zm=∑k≥1ηk(λ)εk\mu^{-\rho\varepsilon}\lambda_0=\lambda+\sum_{k\ge1}\frac{a_k(\lambda)}{\varepsilon^k},\qquad \ln Z_\phi=\sum_{k\ge1}\frac{\zeta_k(\lambda)}{\varepsilon^k},\qquad \ln Z_m=\sum_{k\ge1}\frac{\eta_k(\lambda)}{\varepsilon^k}

と書き、ak′a_k'、ζk\zeta_k、ηk\eta_k は λ\lambda の kk 次以上から始まるとします（kk 位の極は kk ループ以上で初めて現れるので、ϕ4\phi^4 理論でもゲージ結合でも成り立ちます）。β 関数が ε=0\varepsilon=0 で正則（ε\varepsilon のべき級数）であると仮定すると

β(λ)=−ρελ+ρ(λddλ−1)a1(λ),γ(λ)=−ρ2λdζ1dλ,γm(λ)=ρ2λdη1dλ\beta(\lambda)=-\rho\varepsilon\lambda+\rho\Big(\lambda\frac{d}{d\lambda}-1\Big)a_1(\lambda),\qquad \gamma(\lambda)=-\frac\rho2\lambda\frac{d\zeta_1}{d\lambda},\qquad \gamma_m(\lambda)=\frac\rho2\lambda\frac{d\eta_1}{d\lambda}

で、ε→0\varepsilon\to0 の β 関数、γ\gamma、γm\gamma_m はいずれも λ\lambda だけの関数です（質量によりません）。

本文で読む（証明と前後の説明）→

閉包の状態

✓ 公理まで証明済み

証明が使う定理を 前提 としてたどると、Rikai の中の証明だけで定義・公理（物理では基本仮定）までつながっています。

印の意味: ✓公理まで証明済み ・ △証明あり（閉包未完）・ ※主張のみ。テーマごとの集計は 閉包の状況。

前提をたどる 証明が使う定理・定義

証明は Rikai の他の定理を参照していません（定義と論理だけで示されています）。

これを使っている定理 証明で参照している 2 件